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Teorema di esistenza dell’estremo superiore (dimostrazione)

TEOREMA DI ESISTENZA DELL’ESTREMO SUPERIORE

 


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 Il teorema di esistenza dell’lezione completa su estremi e estremanti di insiemi reali afferma che:

Se un insieme reale è superiormente limitato allora l’estremo superiore esiste ed è finito.

Ovviamente il teorema vale anche per l’estremo inferiore. Guarda il video per vedere come si dimostra. Ti consiglio di munirti prima di carta e penna, così sarai più concentrato e non perderai nemmeno un passaggio!

Dimostrazione.

Se un insieme \(A\subseteq \mathbb{R}\) è superiormente limitato allora ammette almeno un maggiorante cioè \(\exists x\in \mathbb{R}\,\,\,|\,\,\,x\ge a\,\forall a\in A\) .
A questo punto costruiamo l’insieme dei maggioranti di \(A\) che sarebbe \(B=\left\{ x\in \mathbb{R}|\,x\ge a\,\forall a\in A \right\}\).
Per come è stato costruito l’insieme \(B\) vale la proprietà che \(x\ge a\,\,\forall x\in B\,\,\forall a\in A\).
Per l’assioma di completezza esiste un elemento separatore \(c\in \mathbb{R}\) | \(a\le c\le x\) \(\forall x\in B\,\,\forall a\in A\)
Poiché \(c\ge a\,\,\forall a\in A\) allora possiamo dire che si tratta di un maggiorante e quindi\(c\in B\). Allo stesso tempo, siccome \(c\le x\,\,\forall x\in B\)allora è il valore minimo dell’insieme \(B\). In altre parole \(c\) è un maggiorante ed il più piccolo tra i maggioranti, quindi è proprio l’estremo superiore dell’insieme \(A\) ovvero \(c=\sup A\) . L’elemento separatore tra un insieme limitato e l’insieme dei suoi maggioranti coincide proprio con l’estremo superiore.


Autore: ing. Casparriello Marco

Lezioni di matematica e fisica a cura di Marco Casparriello.

Videolezioni di analisi matematica

Ho realizzato una serie di Videolezioni di Analisi Matematica, pubbliche su YouTube riportate qui in basso.  E’ un valido corso in preparazione all’esame, in cui affronto tutte le tematiche tipiche dell’esame di analisi matematica, aiutandomi nelle spiegazioni con esempi tratti da prove di esame, selezionate da testi di esame di varie facoltà di ingegneria.

Topologia sull’asse dei reali

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In questa lezione parliamo delle varie proprietà topologiche di un insieme reale. Partiamo dalla nozione di intorno. Successivamente parliamo di maggioranti e minoranti di un insieme, per poi definire il concetto di estremi superiore ed inferiore.  Poi passiamo a parlare di massimo e minimo di un insieme reale. Una volta terminata questa prima parte andiamo a definire l’insieme dei punti di accumulazione, l’insieme dei punti di frontiera, punti interni, punti isolati. Vediamo come verificare se un insieme è aperto o chiuso e terminiamo con i punti di aderenza o chiusura di un insieme.

Punti di accumulazione

Definizione 1

Dato un insieme reale \(A\subseteq \mathbb{R}\),\(accA\) è l’insieme dei punti di accumulazione di \(A\), cioè l’insieme dei punti che rispettano la definizione \(x\in accA\) \(\Leftrightarrow \) \(\forall \delta >0\,\,\left( x-\delta ,x+\delta  \right)\cap A\backslash \left\{ x \right\}\ne \varnothing \) .

Definizione 2

Esiste poi una seconda definizione equivalente a quella appena data, che afferma che\(x\in accA\), se ogni suo intorno contiene infiniti elementi di \(A\). In formule si può scrivere \(x\in acc(A)\) \(\Leftrightarrow \) \(\forall \delta >0\,\,\)(anche piccolissimo)\(B=\left( x-\delta ,x+\delta  \right)\cap A\backslash \left\{ x \right\}\ne \varnothing \) è un insieme infinito, cioè contiene infiniti elementi.

in generale quali sono i punti di accumulazione?

–         Dato un intervallo contenuto nell’insieme A, tutti i punti che appartengono all’intervallo, inclusi gli estremi (sia che gli estremi siano compresi, sia che essi siano esclusi dall’insieme A) sono punti di accumulazione.
Ad esempio dato l’intervallo \(A=[1,3)\)si ha che l’insieme dei suoi punti di accumulazione è\(acc(A)=[1,3]\)  , cioè anche gli estremi sono punti di accumulazione oltre a tutti i punti interni all’intervallo.
– Data una successione di punti, se essa tende ad avvicinarsi indefinitamente ad un punto, allora quel punto è di accumulazione per la successione.
In termini matematici possiamo scrivere
\(\forall \varepsilon >0\,\,\exists x\in {{\left\{ {{a}_{n}} \right\}}_{n\in \mathbb{N}}}\,:\,\left| x-{{x}_{0}} \right|<\varepsilon \)

esempi sui punti di accumulazione

Ad esempio la successione \({{a}_{n}}=\frac{1}{n}\)
Ha come punto di accumulazione \({{x}_{0}}=0\)  infatti comunque piccolo scelgo e troverò sempre un punto della successione che si discosta da \({{x}_{0}}=0\) di una quantità inferiore a d. Ad esempio se scelgo d=1/1000 sarà sufficiente scegliere n=1001 perché la definizione sia rispettata. Infatti

E questo discorso lo posso ripetere comunque piccolo scelgo e. D’altronde 1/n è una successione monotona decrescente che si avvicina indefinitamente a zero.
Prendiamo ora la successione \({{a}_{n}}={{\left( -1 \right)}^{n}}+\frac{1}{n},\,\,\,n\in \mathbb{N}\)
Può essere scomposta in due sottosuccessioni monotone come segue
\({{a}_{n}}=\left\{ \begin{align}
& \frac{1}{n}-1\,\,\,\,se\,n\,pari \\
& \frac{1}{n}+1\,\,\,\,se\,n\,dispari \\
\end{align} \right.\)
Questa successione ammette due punti di accumulazione (1 e -1) perché al crescere di n si avvicina indefinitamente sia a 1 che a -1.

Punti isolati

Sia dato un insieme reale \(A\subseteq \mathbb{R}\) , si ha che \({{x}_{0}}\in A\) è un punto isolato di A se \(\exists \delta >0\,\,\,:\,\,\left( {{x}_{0}}-\delta ,{{x}_{0}}+\delta  \right)\cap A=\left\{ {{x}_{0}} \right\}\)
Ovvero se è possibile definire un intorno del punto in cui non ci sono altri elementi dell’insieme A oltre al punto stesso.
Un punto isolato è tale se è possibile definire un estremo inferiore non nullo per la distanza che intercorre tra esso e gli altri elementi dell’insieme. Ad esempio se prendiamo l’insieme
\(B=\left\{ x\in \mathbb{R}:\,\,x=\frac{1}{n},\,\,\,n\in \mathbb{N} \right\}\) ,  \(A=B\cup \left\{ 0 \right\}\)

quando non sono punti isolati?

Tutti gli elementi di A sono punti isolati ad eccezione dello zero. Eppure l’insieme B è un insieme di punti che si avvicinano sempre più allo zero senza mai raggiungerlo. Il che suggerisce che c’è uno spazio vuoto che separa l’insieme B dallo zero. Lo zero è staccato dall’insieme B, non c’è continuità, ma allo stesso tempo non è possibile misurare la lunghezza di questo spazio vuoto perché è indefinitamente piccolo (ovvero è infinitesimo).

In altri termini si può scrivere che non \({\exists }\delta >0:\left( -\delta ,\delta  \right)\cap A=\left\{ 0 \right\}\)
Cioè comunque piccolo lo scelgo d ci saranno sempre altri elementi di A oltre allo zero nell’intervallo (d,d). Questo esempio mostra che non è detto che un punto staccato dal resto dell’insieme è necessariamente isolato.
Ogni insieme reale è composto in generale da punti (non necessariamente isolati) e intervalli. Se un punto isolato si unisce a un intervallo smette di essere isolato e entra a far parte dell’intervallo. Ad esempio \(A=\left( 1,2 \right)\cup \left\{ 2 \right\}=(1,2]\) .

Punti interni

Un punto è interno ad un insieme non se fa parte dell’insieme (come suggerirebbe il significato letterario del termine) ma se è possibile definire almeno un intorno del punto interamente contenuto nell’insieme.
\({{x}_{0}}\in \overset{0}{\mathop{\mathbf{A}}}\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\exists \delta >0:\left( {{x}_{0}}-\delta ,{{x}_{0}}+\delta  \right)\subset A\)
I punti interni possono essere descritti in poche parole come l’interno degli intervalli, estremi esclusi. Essi si trovano infatti necessariamente all’interno di intervalli. I punti isolati non possono essere punti interni perché non esiste nessun intervallo contenuto in un punto (semmai varrebbe il contrario visto che comunque piccolo lo si prende un intervallo esso conterrà comunque infiniti punti).

Ad esempio dato l’insieme \(A=[1,2)\cup \left\{ 3 \right\}\) ha come punti interni \(\overset{0}{\mathop{\mathbf{A}}}\,=\left( 1,2 \right)\)

Punti di frontiera

Un punto si dice di frontiera se comunque piccolo si prende un intorno del punto conterrà sia punti che appartengono all’insieme A che punti che non appartengono ad A.
\({{x}_{0}}\in \partial A\,\,\Leftrightarrow \forall \delta >0\,\left( {{x}_{0}}-\delta ,{{x}_{0}}+\delta  \right)\cap A\ne \varnothing ,\left( {{x}_{0}}-\delta ,{{x}_{0}}+\delta  \right)\cap {{A}^{c}}\ne \varnothing \)
Un punto appartiene alla frontiera di A se comunque scelto un intorno del punto intersecato con l’insieme A e con il complementare dell’insieme A si ottiene comunque un insieme non vuoto.

quali sono i punti di frontiera?

In generale sono punti di frontiera:
– Gli estremi degli intervalli (sia che essi siano inclusi, sia che essi siano esclusi dall’insieme)
– I punti isolati
– I punti dove tendono ad accumularsi infiniti punti di una successione
Ad esempio:
\(A=\left\{ x\in \mathbb{R}:\,\,x=\frac{1}{n},\,\,\,n\in \mathbb{N} \right\}\)
Ammette  \({{x}_{0}}=0\) come punto di frontiera oltre all’insieme stesso (che è composto interamente da punti isolati), e quindi la frontiera di A è \(\partial A=A\cup \left\{ 0 \right\}\).

Insiemi chiusi

Un insieme reale \(A\subseteq \mathbb{R}\) si dice chiuso se tutti i punti di accumulazione sono contenuti nell’insieme, ovvero
\(accA\subseteq A\)
Ad esempio \(A=(1,2]\) non è chiuso perché \(acc(A)=\left[ 1,2 \right]\not\subset A\) , l’insieme \(B=\left[ 1,2 \right]\) è chiuso perché \(acc(B)=\left[ 1,2 \right]\subseteq B\) e anche l’insieme \(C=\left[ 1,2 \right]\cup \left\{ 3,4 \right\}\) è chiuso infatti \(acc(C)=\left[ 1,2 \right]\subseteq C\)
Non devono esistere punti di accumulazione che non appartengano all’insieme.

Insiemi aperti

Un insieme \(A\subseteq \mathbb{R}\) non vuoto si dice aperto se l’insieme è composto da soli punti interni.
Se un insieme contiene intervalli di cui almeno un estremo è escluso oppure contiene punti isolati, non può o essere aperto.
Ad esempio l’insieme\(A=\left( 1,2 \right)\cup \left( 3,+\infty  \right)\)è un insieme aperto, mentre l’insieme \(B=(1,2]\cup \left( 3,+\infty  \right)\)non è aperto e non lo è nemmeno \(C=\left( 1,2 \right)\cup \left( 3,+\infty  \right)\cup \left\{ 0 \right\}\).

Punti di chiusura o aderenza

Dato un insieme \(A\subseteq \mathbb{R}\) non vuoto si dice che \({{x}_{0}}\) appartiene all’insieme dei punti di chiusura o aderenza di \(A\) se comunque preso un intorno che circonda il punto \({{x}_{0}}\) contiene punti di A
\({{x}_{0}}\in \bar{A}\Leftrightarrow \forall \delta >0\,\,\left( {{x}_{0}}-\delta ,{{x}_{0}}+\delta  \right)\cap A\ne \varnothing \)
La chiusura di un insieme si ottiene aggiungendo ad un insieme ciò che manca per essere chiuso, cioè quei punti di accumulazione che non fanno parte dell’insieme \(\bar{A}=A\cup acc\left( A \right)\).

Insieme Numeri Reali – analisi matematica

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Insiemi Numerici (Analisi Matematica)

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Insiemi Numerici – Scarica il pdf

Insiemi di numeri

Prima di entrare nel vivo della materia è bene fare una presentazione degli insiemi di numeri su cui si opera e a partire dai quali si costruisce tutta l’analisi matematica. Ecco l’elenco dei principali insiemi numerici:

\(\mathbb{N}=\{0,1,2,3,…\}\) denota l’insieme dei numeri naturali.
\(\mathbb{Z}=\{..,-3,-2,-1,0,1,2,3,..\}\)è l’insieme dei numeri relativi
\(\mathbb{Q}=\{\pm \frac{m}{n},\,\,con\,\,m\in \mathbb{N},n\in \mathbb{N}\}\)è l’insieme dei numeri razionali
\(\mathbb{R}\) è l’insieme dei numeri reali. Due sottoinsiemi di esso sono: \({{\mathbb{R}}^{+}}\)insieme dei numeri reali positivi escluso lo zero e \(\mathbb{R}_{0}^{+}\) che include lo zero.

\(\mathbb{C}=\left\{ z=x+i\,y;\,\,\,\,x,y\in \mathbb{R} \right\}\,\,\)è l’insieme dei numeri complessi. Questo insieme è un estensione dei numeri reali e si costruisce a partire da essi introducendo l’unità immaginaria \(i=\sqrt{-1}\) e che vedremo nel dettaglio più avanti.

Si osserva che tra gli insiemi numerici vale la seguente relazione: \(\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}\).

I numeri naturali sono tutti i relativi con il segno positivo. I numeri relativi possono essere visti come numeri razionali ponendo \(n=1\) al denominatore oppure come frazioni dove il numeratore è multiplo del denominatore. Una riflessione va fatta per quanto riguarda la relazione tra numeri razionali e reali.
Qualsiasi numero con un numero finito di cifre dopo la virgola può essere scritto come frazione, ovvero come numero razionale. Poniamoci a questo punto una domanda: tutti i numeri possono essere scritti come numeri razionali?
Per rispondere a questa domanda basta trovare un controesempio, cioè un numero che non può essere scritto come frazione. L’esempio in questione è il numero \(\sqrt{2}\), e a questo punto andiamo a dimostrarlo per assurdo.
Come prima cosa bisogna negare la tesi, quindi per assurdo assumiamo che \(\sqrt{2}\)può essere scritto come il rapporto tra due numeri primi tra loro (se non lo fossero basterebbe semplificare).

Relazione tra insiemi numerici

I numeri naturali sono tutti i relativi con il segno positivo. I numeri relativi possono essere visti come numeri razionali ponendo \(n=1\) al denominatore oppure come frazioni dove il numeratore è multiplo del denominatore. Una riflessione va fatta per quanto riguarda la relazione tra numeri razionali e reali.
Qualsiasi numero con un numero finito di cifre dopo la virgola può essere scritto come frazione, ovvero come numero razionale. Poniamoci a questo punto una domanda: tutti i numeri possono essere scritti come numeri razionali?
Per rispondere a questa domanda basta trovare un controesempio, cioè un numero che non può essere scritto come frazione. L’esempio in questione è il numero \(\sqrt{2}\), e a questo punto andiamo a dimostrarlo per assurdo.
Come prima cosa bisogna negare la tesi, quindi per assurdo assumiamo che \(\sqrt{2}\)può essere scritto come il rapporto tra due numeri primi tra loro (se non lo fossero basterebbe semplificare).

Altri insiemi numerici

Abbiamo l’insieme dei numeri reali e positivi \({{\mathbb{R}}^{+}}\) ,  quello dei numeri reali e positivi incluso lo zero \(\mathbb{R}_{0}^{+}\). Inoltre esiste l’insieme dei numeri relativi e positivi incluso lo zero che coincide con l’insieme dei numeri naturali \(\mathbb{Z}_{0}^{+}=\mathbb{N}\) .

L’insieme dei numeri reali e negativi \({{\mathbb{R}}^{-}}\) . Insomma basta aggiungere un + in alto per indicare che sono solo i positivi, un – in alto per indicare che sono soltanto i negativi, uno zero in basso per indicare che è incluso anche lo zero.

Ad esempio l’insieme \({{\mathbb{Q}}^{+}}\) sono i numeri razionali e positivi e si ha \({{\mathbb{Q}}^{+}}=\left\{ x=\frac{m}{n},\,\,m,n\in \mathbb{N} \right\}\)

 

Insiemi Numerabili – Analisi Matematica

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Scarica il pdf della lezione – Insiemi Numerabili

Numerabilità di un insieme

Un insieme si dice numerabile se è possibile creare una relazione tra i numeri naturali e gli elementi dell’insieme stesso, ovvero se è possibile numerare gli elementi di tale insieme. Un insieme finito è senz’altro numerabile, mentre un insieme infinito è numerabile se è possibile stabilire una logica per cui l’n-esimo elemento dell’insieme è dato univocamente da un certo elemento.

Gli insiemi \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\) e \(\mathbb{Q}\) sono numerabili, mentre l’insieme \(\mathbb{R}\) non è numerabile.
Vediamo un esempio di come è possibile numerare l’insieme dei numeri relativi:

1 2 3 4 5 6
0 -1 1 -2 2 3

 

Vediamo invece un esempio di come è possibile numerare l’insieme dei numeri razionali \(\mathbb{Q}\) :

 

Dimostrazione dell’equivalenza tra diverse definizioni di punto di accumulazione

DIMOSTRAZIONE DELL’EQUIVALENZA TRA DIVERSE DEFINIZIONI DI PUNTO DI ACCUMULAZIONE

Nell’esame di analisi matematica 1 spesso viene chiesto  di dimostrare l’equivalenza tra diverse definizioni di punti di accumulazione, nel video seguente si riporta la dimostrazione.

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Punti di accumulazione

Definizione 1

Dato un insieme reale \(A\subseteq \mathbb{R}\),\(accA\) è l’insieme dei punti di accumulazione di \(A\), cioè l’insieme dei punti che rispettano la definizione \(x\in accA\) \(\Leftrightarrow \) \(\forall \delta >0\,\,\left( x-\delta ,x+\delta  \right)\cap A\backslash \left\{ x \right\}\ne \varnothing \) .

Definizione 2

Esiste poi una seconda definizione equivalente a quella appena data, che afferma che\(x\in accA\), se ogni suo intorno contiene infiniti elementi di \(A\). In formule si può scrivere \(x\in acc(A)\) \(\Leftrightarrow \) \(\forall \delta >0\,\,\)(anche piccolissimo)\(B=\left( x-\delta ,x+\delta  \right)\cap A\backslash \left\{ x \right\}\ne \varnothing \) è un insieme infinito, cioè contiene infiniti elementi.

Dimostrazione

Dimostriamo ora l’equivalenza tra le due definizioni:
Facciamo una dimostrazione per assurdo negando il fatto che l’insieme \(B\) è infinito. Se B fosse finito, allora si avrebbe che fissato un certo \(\delta \), esso conterrebbe un numero finito di elementi e quindi potrebbe essere rappresentato come un insieme per elenco \(A=\left\{ {{x}_{1}},..,{{x}_{N}} \right\}\)  costituito da \(N\) elementi. A questo punto, se scegliessi \(\delta ‘=\min \left| {{x}_{k}}-x \right|\) si avrebbe che \(\left( x-{\delta }’,x+{\delta }’ \right)\cap A\backslash \left\{ x \right\}=\varnothing \) e quindi si arriverebbe a negare anche la prima definizione.

Teorema di unicità dell’estremo superiore (dimostrazione)

TEOREMA DI UNICITÀ DELL’ESTREMO SUPERIORE (DIMOSTRAZIONE)

Dimostrazione per assurdo del teorema di unicità dell’estremo superiore di un insieme reale. Il teorema afferma che:

Se un insieme ammette estremi reali, allora essi sono unici, e quindi un insieme non può ammettere due o più estremi superiori o inferiori.

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Dimostrazione.

Questo teorema si dimostra per assurdo. Vedremo la dimostrazione nel caso dell’estremo superiore, ma vale allo stesso modo anche per quello inferiore.
Partiamo quindi con la negazione della tesi e quindi assumiamo che l’insieme ammette due valori diversi per l’estremo superiore diversi tra loro e cioè \({{L}_{1}}=\sup A\) , \({{L}_{2}}=\sup A\) e \({{L}_{2}}>{{L}_{1}}\) .
A questo punto riscriviamo la definizione di estremo superiore due volte:

\({{L}_{1}}=\sup A\)\(\Leftrightarrow \) \(\forall \varepsilon >0\,\exists {{x}_{1}}\in A\,|\,\,\,\,{{x}_{1}}>{{L}_{1}}-\varepsilon \)
\({{L}_{2}}=\sup A\)\(\Leftrightarrow \) \(\forall \varepsilon >0\,\exists {{x}_{2}}\in A\,|\,\,\,\,{{x}_{2}}>{{L}_{2}}-\varepsilon \)

Inoltre poiché \({{L}_{1}}\) e \({{L}_{2}}\)sono maggioranti posso anche scrivere che \({{L}_{2}}\ge {{x}_{1}}\) e  \({{L}_{1}}\ge {{x}_{2}}\)

Mettendo insieme tutte queste condizioni posso scrivere il sistema

\(\left\{ \begin{align}
& {{L}_{2}}\ge {{x}_{1}}>{{L}_{1}}-\varepsilon  \\
& {{L}_{1}}\ge {{x}_{2}}>{{L}_{2}}-\varepsilon  \\
\end{align} \right.\) \(\Rightarrow \) \(\left\{ \begin{align}
& {{L}_{2}}>{{L}_{1}}-\varepsilon  \\
& {{L}_{1}}>{{L}_{2}}-\varepsilon  \\
\end{align} \right.\)\(\Rightarrow \)\(\left\{ \begin{align}
& {{L}_{2}}-{{L}_{1}}>-\varepsilon  \\
& {{L}_{1}}-{{L}_{2}}>-\varepsilon  \\
\end{align} \right.\)\(\Rightarrow \)\(\left\{ \begin{align}
& {{L}_{2}}-{{L}_{1}}>-\varepsilon  \\
& {{L}_{2}}-{{L}_{1}}<\varepsilon  \\
\end{align} \right.\)\(\Rightarrow \)

\(-\varepsilon <{{L}_{2}}-{{L}_{1}}<\varepsilon \)
Poiché questa disequazione deve essere verificata \(\forall \varepsilon >0\) , l’unica scelta che rende vera la disequazione è \({{L}_{1}}={{L}_{2}}\) , arrivando alla contraddizione che nega l’assunzione iniziale e quindi il teorema risulta dimostrato.

 

Esercizi su insiemi reali (topologia dell’asse dei reali)

ESERCIZI SU INSIEMI REALI 

In questo video svolgo due esercizi relativi agli insiemi reali. In particolare dati due esempi di insiemi, mostro come trovare i relativi insiemi dei punti di accumulazione, punti isolati, punti di frontiera, estremi superiori ed inferiori, limitatezza inferiore e superiore, massimo e minimo (se esistono) e dire se gli insiemi sono aperti o chiusi.

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alcune regole che É bene ricordare
  • i punti di accumulazione sono tutti quei punti in cui l’insieme diventa denso, cioè se costruisco un intorno del punto, comunque piccolo lo prendo, vedo sempre un insieme di infiniti punti.
  • un insieme non sempre ammette massimo e minimo, ma quando essi esistono coincidono con gli estremi superiore ed inferiore rispettivamente.
  • il massimo di un insieme esiste quando tra tutti gli elementi dell’insieme è possibile individuare un elemento più grande di tutti.
  • i punti isolati non sono punti di accumulazione, perchè esiste un intervallo finito che li separa dagli altri elementi dell’insieme.
  • i punti interni si trovano soltanto all’inerno degli intervalli.

dato un insieme reale:

Dimostrazione che √2 é un numero irrazionale

  2  É UN NUMERO IRRAZIONALE

In questa lezione vediamo che √2 è un numero irrazionale. La dimostrazione è per assurdo, negando la tesi che è irrazionale. Si ipotizza che esso è un numero razionale e si arriva ad un assurdo.

\(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\) . Se \(m\) e \(n\) sono primi tra loro, lo sarebbero anche \(\frac{{{m}^{2}}}{{{n}^{2}}}=\frac{m}{n}\cdot \frac{m}{n}\) visto che nella frazione ottenuta non si può semplificare niente, e quindi anche \({{m}^{2}}\) e \({{n}^{2}}\) dovrebbero essere primi fra loro. Poiché però \[{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}={{\left( \frac{m}{n} \right)}^{2}}\,\Rightarrow \,\,\,\,\frac{{{m}^{2}}}{{{n}^{2}}}=2\,\,\,\Rightarrow \,\,\,{{m}^{2}}=2{{n}^{2}}\], si avrebbe che \({{m}^{2}}\) è il doppio di \({{n}^{2}}\)andando a negare che sono primi tra loro e quindi si arriva alla contraddizione. Quindi è assurdo negare la tesi e quindi la tesi è vera!

Quindi come abbiamo visto non tutti i numeri possono essere scritti come frazioni. A questo insieme appartengono tutti i numeri che prendono il nome di numeri irrazionali e tra questi ricordiamo il pi greco \(\pi =3.14\), il numero di Nepero \(e=2.71828\).