L’equipotenza (equicardinalità) tra insiemi è un concetto che non va confuso con l’uguaglianza tra insiemi.
Due insiemi si dicono equipotenti o equicardinali se contengono esattamente lo stesso numero di elementi.
Due insiemi possono essere equipotenti anche se sono infiniti, si pensi al caso degli insiemi che appartengono alla classe degli insiemi numerabili.
Una coppia di insiemi uguali è una coppia di insiemi che presenta esattamente gli stessi elementi; due insiemi equipotenti sono invece due insiemi che presentano lo stesso numero di elementi, non necessariamente uguali tra loro.
Vediamo questo concetto con un esempio:
Prendiamo l’insieme A={‘cane’,’gatto’,’topo’}, l’insieme B={1,2,5} e l’insieme C={x|x è un numero intero compreso tra 1 e 3}={1,2,3}.
Vediamo che i tre insiemi contengono tutti lo stesso numero di elementi e quindi hanno la stessa cardinalità card(A)=card(B)=card(C)=3.
A, B e C sono equipotenti (equicardinali) essi però non contengono gli stessi elementi, pertanto non sono uguali.
Questo si esprime dicendo che \(A\neq B\) , \(A\neq C\) e che \(B\neq C\) e ci fa dedurre che se due insiemi sono equipotenti non implica che sono uguali.
In formule \(card(A)=card(B) \nRightarrow A=B\)
Come è logico pensare, se due insieme sono uguali, naturalmente contengono anche lo stesso numero di elementi e pertanto sono equicardinali.
Prendiamo l’insieme A={1 , 2, 3} e B={x| x è un numero naturale compreso tra 1 e 3}, si ha che A e B contengono esattamente gli stessi elementi, e si può dire che B è una rappresentazione per elencazione di A. Notiamo che in B abbiamo specificato che x deve essere un numero naturale, specificando in questo modo a quale universo deve appartenere (insieme universo).
L’uguaglianza tra insiemi implica l’equipotenza(equicardinalità) e in formule si scrive \(A=B \Rightarrow card(A)\Rightarrow card(B)\)
