DIAGONALIZZAZIONE IN CAMPO COMPLESSO

DIAGONALIZZAZIONE IN CAMPO COMPLESSO

 

 

Diagonalizzare una matrice equivale a trovare una soluzione al seguente problema \(\mathbf{SA}{{\mathbf{S}}^{-1}}=\mathbf{\Lambda }\) , dove \(\mathbf{S}\) è una matrice di cambiamento di base e \(\mathbf{\Lambda }\) è una matrice diagonale.

 Una matrice che ammette autovalori complessi non è diagonalizzabile in \(\mathbb{R}\). Ammette diagonalizzazione in campo complesso se le molteplicità algebriche coincidono con quelle geometriche. Il problema agli autovalori va risolto in campo complesso.

come è fatta la matrice diagonale

La matrice \(\mathbf{\Lambda }=\left( \begin{matrix}   {{\lambda }_{1}} & 0  \\   0 & {{\lambda }_{2}}  \\\end{matrix} \right)\)   è una matrice diagonale avente come elementi sulla diagonale principale gli autovalori della matrice  \(\mathbf{A}\) .

come sono fatte le matrici di cambiamento di base

Detti \({{\mathbf{v}}_{1}}\) e \({{\mathbf{v}}_{2}}\) gli autovettori associati rispettivamente agli autovalori \({{\lambda }_{1}}\) e \({{\lambda }_{2}}\).  Siano \({{\mathbf{\overset{\scriptscriptstyle\frown}{v}}}_{1}}=\frac{{{\mathbf{v}}_{1}}}{\left\| {{\mathbf{v}}_{1}} \right\|}\) e \({{\mathbf{\overset{\scriptscriptstyle\frown}{v}}}_{2}}=\frac{{{\mathbf{v}}_{2}}}{\left\| {{\mathbf{v}}_{2}} \right\|}\) versori ad essi associati.

La matrice \({{\mathbf{S}}^{-1}}\) può essere costruita ponendo come colonne i versori \({{\mathbf{\overset{\scriptscriptstyle\frown}{v}}}_{1}}\) e \({{\mathbf{\overset{\scriptscriptstyle\frown}{v}}}_{2}}\).

Possiamo scrivere che \({{\mathbf{S}}^{-1}}=\left[ {{{\mathbf{\overset{\scriptscriptstyle\frown}{v}}}}_{1}}\,\,{{{\mathbf{\overset{\scriptscriptstyle\frown}{v}}}}_{2}} \right]\) e la matrice \(\mathbf{S}\) è la sua inversa, e poiché quest’ultima è una matrice unitaria e composta da autovettori allora vale la seguente relazione \(\mathbf{S}={{\left( {{\mathbf{S}}^{-1}} \right)}^{*}}\) . 

L’operatore \({{\left( {} \right)}^{*}}\) , rappresenta l’operatore Hermetiano che restituisce la matrice trasposta e coniugata. Questo vale per la diagonalizzazione in campo complesso, in campo reale è sufficiente la trasposta.

ESEMPIO

Andiamo a fare la diagonalizzione in campo complesso della matrice \(\mathbf{A}=\left( \begin{matrix}   0 & 1  \\   i & 0  \\\end{matrix} \right)\).

autovalori e autospazi associati

Partiamo dal cercare autovalori e autovettori. Soluzioni del polinomio caratteristico: \(\det \left( \mathbf{A}-\lambda \mathbf{I} \right)=\det \left( \begin{matrix}   -\lambda  & 1  \\   i & -\lambda   \\\end{matrix} \right)={{\lambda }^{2}}-i=0\)\(\lambda =\sqrt{i}=\sqrt{e\,{{\,}^{i\,\frac{\pi }{2}}}}=\,e\,{{\,}^{\frac{i\,\frac{\pi }{2}+2k\pi }{2}}}\,\,=\,e\,{{\,}^{i\,\frac{\pi }{4}+ik\pi }}=\,e\,{{\,}^{i\,\frac{\pi }{4}}}\,e{{\,}^{ik\pi }}\,=\pm \,\,e\,{{\,}^{i\,\frac{\pi }{4}}}\,=\pm \frac{1+i}{\sqrt{2}}\)  con \(k=0,1\) 

L’autospazio associato all’autovalore \({{\lambda }_{1}}=-\frac{1+i}{\sqrt{2}}\)  è dato dall’insieme delle soluzioni del sistema

\(\left( \begin{matrix}-{{\lambda }_{2}} & 1 \\i  & -{{\lambda }_{2}} \\\end{matrix} \right)\left[ \begin{align} &  x \\  &  y \\\end{align} \right]=\) \(\left[ \begin{align} & 0 \\& 0 \\\end{align} \right] \).

Troviamo pertanto l’autospazio \({{S}_{{{\lambda }_{1}}}}=span\left[ \left( \begin{align}  & -\frac{1-i}{\sqrt{2}} \\  & 1 \\ \end{align} \right) \right]\).

L’autospazio associato all’autovalore \({{\lambda }_{2}}=\frac{1+i}{\sqrt{2}}\)  è dato dall’insieme delle soluzioni del sistema \(\left( \begin{matrix}   -{{\lambda }_{2}} & 1  \\   i & -{{\lambda }_{2}}  \\\end{matrix} \right)\left[ \begin{align}  & x \\  & y \\ \end{align} \right]\)  \(=\left[ \begin{align}  & 0 \\  & 0 \\ \end{align} \right]\) .

Troviamo pertanto l’autospazio \({{S}_{{{\lambda }_{1}}}}=span\left[ \left( \begin{align}  & \frac{1-i}{\sqrt{2}} \\  & \,\,\,\,1 \\ \end{align} \right) \right]\).

autovettori normalizzati

Un autovettore associato all’autovalore \({{\lambda }_{1}}=-\frac{1+i}{\sqrt{2}}\) è dato da \({{\mathbf{v}}_{1}}=\left( \begin{align}  & -\frac{1-i}{\sqrt{2}} \\  & \,\,\,\,\,\,1 \\ \end{align} \right)\).

Un autovettore associato all’autovalore \({{\lambda }_{2}}=\frac{1+i}{\sqrt{2}}\) è dato da \({{\mathbf{v}}_{2}}=\left( \begin{align}  & \frac{1-i}{\sqrt{2}} \\  & \,\,\,1 \\ \end{align} \right)\).

Normalizzo i due autovettori, ricordando che la norma dei vettori complessi è definita così: \(\left\| \mathbf{v} \right\|=\sqrt{{{\left| {{v}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{v}_{2}} \right|}^{2}}+…+{{\left| {{v}_{n}} \right|}^{2}}}\) con \(\mathbf{v}=\left[ \begin{align}  & {{v}_{1}} \\  & {{v}_{2}} \\  & \,\vdots  \\  & {{v}_{n}} \\ \end{align} \right]\). Si ha quindi che \(\left\| {{\mathbf{v}}_{1}} \right\|=\left\| {{\mathbf{v}}_{2}} \right\|=\sqrt{2}\).

diagonalizzazione in campo complesso

Si ha così che la matrice diagonale diventa \(\mathbf{\Lambda }=\left( \begin{matrix}   -\frac{1+i}{\sqrt{2}} & 0  \\   0 & \frac{1+i}{\sqrt{2}}  \\\end{matrix} \right)\) e che  \({{\mathbf{S}}^{-1}}=\left[ {{{\mathbf{\overset{\scriptscriptstyle\frown}{v}}}}_{1}}\,\,{{{\mathbf{\overset{\scriptscriptstyle\frown}{v}}}}_{2}} \right]=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[ \begin{matrix}   -\frac{1-i}{\sqrt{2}} & \frac{1-i}{\sqrt{2}}  \\   1 & 1  \\\end{matrix} \right]\). Mentre la sua Hermetiana è la matrice \(\mathbf{S}={{\left( {{\mathbf{S}}^{-1}} \right)}^{*}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \begin{matrix}   -\frac{1+i}{\sqrt{2}} & 1  \\   \frac{1+i}{\sqrt{2}} & 1  \\\end{matrix} \right)\).

Per verificare la correttezza dei passaggi si può provare:

\(\mathbf{SA}{{\mathbf{S}}^{-1}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \begin{matrix}   -\frac{1+i}{\sqrt{2}} & 1  \\   \frac{1+i}{\sqrt{2}} & 1  \\\end{matrix} \right).\left( \begin{matrix}   0 & 1  \\   i & 0  \\\end{matrix} \right).\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \begin{matrix}   -\frac{1-i}{\sqrt{2}} & \frac{1-i}{\sqrt{2}}  \\   1 & 1  \\\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}   -\frac{1+i}{\sqrt{2}} & 0  \\   0 & \frac{1+i}{\sqrt{2}}  \\\end{matrix} \right)=\mathbf{\Lambda }\).

Professore di teoria dei segnali e analisi matematica


Professore Casparriello Marco

Esperto in didattica di Analisi Matematica e Teoria dei Segnali

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