SOLUZIONE PROBLEMA 1
Fissati due parametri reali 𝑆>0,𝑘>0, considera la funzione:
\(f_k(x)=\frac{S}{1+e^{-kx}}\), il cui grafico viene indicato con \(\Gamma_k\).
La funzione \(f_k(x)\). può essere adoperata per studiare la possibile evoluzione nel tempo di una popolazione che abbia capacità di riprodursi, nell’ipotesi in cui la limitatezza delle risorse disponibili causi l’esistenza di una “soglia di sostenibilità” al di sotto della quale la popolazione è costretta a mantenersi.
1. Dimostra che i valori assunti dalla funzione \(f_k(x)\) si mantengono all’interno dell’intervallo aperto delimitato inferiormente dal valore 0 e superiormente dal valore S, dove quest’ultimo rappresenta tale soglia di sostenibilità.
Soluzione domanda 1 – Problema 1 – Simulazione prova di Matematica -dicembre 2018
Per fare ciò possiamo semplicemente verificare che la disequazione \(0<{{f}_{k}}(x)<S\) è sempre verificata.
\({{f}_{k}}(x)>0\) è sempre verificata, visto che sia al numeratore che al denominatore compaiono soltanto termini positivi.
\( {{f}_{k}}(x)<S\) \(\Rightarrow \)\(\frac{S}{1+{{e}^{-kx}}}<S\)\(\Rightarrow \)\(\frac{1}{1+{{e}^{-kx}}}<1\)\(\Rightarrow \)\(1<1+{{e}^{-kx}}\)\(\Rightarrow \)\({{e}^{-kx}}>0\)
Anche la seconda disequazione è sempre verificata visto che sia l’esponenziale che il fattore che k sono quantità positive \(\forall x\in \mathbb{R}\)
2. Osservando \(\Gamma_k\), individua la trasformazione geometrica da applicare a \(\Gamma_k\) per farlo diventare il grafico di una funzione dispari, e determina l’espressione analitica di tale funzione.
Soluzione domanda 2 – Problema 1 – Simulazione prova di Matematica – dicembre 2018
Affinchè Γ𝑘 diventi il grafico di una funzione dispari, si deve avere che \({{f}_{k}}\left( -x \right)=-{{f}_{k}}(x)\) \(\forall x\in \mathbb{R}\), dove \(\mathbb{R}\) coincide con il dominio della funzione.
Lasciando inalterato il grafico per x>0, vogliamo che per le x negative valga la relazione per le funzioni dispari.
Per fare ciò possiamo scrivere:
\({{g}_{k}}\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & {{f}_{k}}(x)\,\,\,se\,\,x>0 \\ & 0\,\,se\,\,x=0 \\ & -{{f}_{k}}(-x)\,\,se\,x<0 \\ \end{align} \right.\)
Il cui grafico si costruisce facilmente osservando che per x>0 la funzione è monotona crescente, essendo proporzionale al reciproco di una funzione monotona decrescente.
Inoltre sappiamo che \(0<{{f}_{k}}(x)<S\), possiamo verificare che \(\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{f}_{k}}(x)=1\) e che \(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{f}_{k}}(x)=S\). Quindi per x>0 si tratta di una funzione crescente che parte da 1+ e cresce avvicinandosi indefinitamente al valore S senza mai raggiungerlo. Per x<0 è possibile invece specchiare la funzione rispetto all’origine.
3. Individua graficamente o analiticamente il valore della x corrispondente alla massima velocità di crescita di una popolazione secondo il modello rappresentato dalla funzione \(f_k(x)\); determina quindi, in funzione dei parametri S e k, il valore di tale velocità massima.
Soluzione domanda 3 – Problema 1 – Simulazione prova di Matematica – dicembre 2018
La massima crescita si ha quando è massima la derivata della funzione \(f_k(x)\). Per fare ciò studiamo il segno della derivata seconda:
\(\frac{d{{f}_{k}}(x)}{dx}=\frac{kS\,{{e}^{-kx}}}{{{\left( 1+{{e}^{-kx}} \right)}^{2}}}\)
\(\frac{{{d}^{2}}{{f}_{k}}(x)}{d{{x}^{2}}}={{k}^{2}}{{e}^{-kx}}\frac{{{e}^{-kx}}-1}{{{\left( 1+{{e}^{-kx}} \right)}^{3}}}>0\)\(\Rightarrow \)\({{e}^{-kx}}-1>0\)\(\Rightarrow \)\({{e}^{-kx}}>1\)\(\Rightarrow \)\(x<0\)
Dallo studio del segno della derivata seconda si evince che la derivata della funzione \(𝑓_𝑘(𝑥)\), ha un massimo in corrispondenza di x=0, in corrispondenza del quale si incontra il punto di massima crescita della funzione.
La velocità massima è data dalla derivata della funzione calcolata nell’origine.
\(\frac{d{{f}_{k}}(0)}{dx}=\frac{kS\,}{4}\)
Dovendo effettuare lo studio di una coltura batterica in un ambiente a risorse limitate, puoi pensare, al fine di semplificare i calcoli, di approssimare la funzione \(f_k(x)\) con una funzione come \(g_k(x)\), il cui grafico è riportato nella figura seguente:
Il valore di \(g_k(x)\) passa da 0 a S con una rampa lineare, di pendenza pari alla pendenza di \(\Gamma_k\)nel punto di ascissa 0.
4. Determina, in funzione dei parametri S e k, l’espressione analitica della funzione \(g_k(x)\).
Soluzione domanda 4 – Problema 1 – Simulazione prova di Matematica – dicembre 2018
La funzione \(g_k(x)\) può essere definita come una funzione a tratti.
In particolare tale funzione è una retta con pendenza \(\frac{d{{f}_{k}}(0)}{dx}=\frac{kS\,}{4}\), e passante per il punto P=(0,S/2). Quindi otteniamo che il coefficiente angolare della retta è \(m=\frac{kS\,}{4}\), mentre l’intercetta con le ordinate è \(q=\frac{S\,}{2}\).
La retta \(y=\frac{kS\,}{4}x+\frac{S\,}{2}\) intercetta l’asse x in \(\frac{kS\,}{4}x+\frac{S\,}{2}=0\)\(\Rightarrow \)\(x=-\frac{2}{k}\).
La retta \(y=\frac{kS\,}{4}x+\frac{S\,}{2}\) intercetta l’asintoto della funzione f𝑘(𝑥) di equazione y=S in \(\frac{kS\,}{4}x+\frac{S\,}{2}=S\)\(\Rightarrow \)\(x=\frac{2}{k}\).
E per finire scriviamo la funzione:
\({{g}_{k}}\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & S\,\,\,se\,\,x\ge \frac{2}{k} \\ & \frac{kS\,}{4}x+\frac{S\,}{2}\,\,\,se\,-\frac{2} {k}\le x<\frac{2}{k} \\ & 0\,\,se\,x<-\frac{2}{k} \\ \end{align} \right.\)
5. Illustra il procedimento che adotteresti per valutare la accettabilità dell’approssimazione di \(f_k(x)\) fornita da \(g_k(x)\).
Soluzione domanda 5 – Problema 1 – Simulazione prova di Matematica – dicembre 2018
Definiamo la funzione errore \(e_𝑘(𝑥)=|𝑔_𝑘(𝑥) -𝑓_𝑘(𝑥)|\).
Si osserva che i grafici sono entrambi simmetrici rispetto al punto F, pertanto possiamo studiare il massimo della funzione errore soltanto per x>0, e varrà lo stesso per x<0.
\({{e}_{k}}\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & S-\,\,{{f}_{k}}\left( x \right)\,\,se\,\,x\ge \frac{2}{k} \\ & \frac{kS\,}{4}x+\frac{S\,}{2}-{{f}_{k}}\left( x \right)\,\,\,se\,\,0\le x<\frac{2}{k} \\ \end{align} \right.\)
Calcolo la derivata prima di ek(x) e ne studio il segno:
\({{e}_{k}}^{\prime }\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & -\,\,{{f}_{k}}^{\prime }\left( x \right)\,\,se\,\,x\ge \frac{2}{k} \\ & \frac{kS\,}{4}-{{f}_{k}}^{\prime }\left( x \right)\,\,\,se\,\,0\le x<\frac{2}{k} \\ \end{align} \right.\)
Si sa che \({{f}_{k}}^{\prime }(x)>0\) è sempre positiva osservando la sua espressione calcolata nel punto 3. \(-{{f}_{k}}^{\prime }(x)<0\) e di conseguenza l’errore tende a diminuire per x>2/k.
Inoltre, studiando la funzione ek(x) nell’intervallo tra 0 e 2/k, si può osservare che la sua derivata in tale intervallo vale:
\({{e}_{k}}^{\prime }(x)=kS\left( \frac{{{\left( 1+{{e}^{-kx}} \right)}^{2}}-4{{e}^{-kx}}}{4{{\left( 1+{{e}^{-kx}} \right)}^{2}}} \right)\)
Studiandone il segno in tale intervallo \({{e}_{k}}^{\prime }(x)>0\) si ha:
\({{\left( 1+{{e}^{-kx}} \right)}^{2}}-4{{e}^{-kx}}>0\) \(\Rightarrow \) \({{e}^{-2kx}}-2{{e}^{-kx}}+1>0\)\(\Rightarrow \)\({{\left( {{e}^{-kx}}-1 \right)}^{2}}>0\)
Possiamo dedurre che la derivata della funzione errore è positiva nell’intervallo tra 0 e 2/k, e quindi l’errore tende ad aumentare in questo intervallo.
Possiamo concludere che il massimo di tale funzione si trova in corrispondenza di x=2/k.
L’errore massimo commesso approssimando \(g_𝑘(𝑥)\) fornita da \(f_𝑘(𝑥)\) è:
\({{e}_{MAX}}={{e}_{k}}(2/k)\cong 0,12S\)
Si può osservare che quest’ultimo dipende dal parametro S ma non da k.
Per concludere possiamo valutare l’errore relativo in corrispondenza del punto di massimo e usarlo come indice di bontà dell’approssimazione fatta.
\({{E}_{rel}}=\frac{{{e}_{k}}(2/k)}{{{f}_{k}}(2/k)}={{e}^{-2}}\cong 14%\)
6. All’aumentare di k, tale approssimazione diventa migliore? Motiva la tua risposta.
Soluzione domanda 5 – Problema 1 – Simulazione prova di Matematica – dicembre 2018
Al variare di k, quindi, il valore massimo dello scarto tra la funzione esatta e la sua approssimazione rimane costante; possiamo dunque concludere che la qualità dell’approssimazione resta costante quando k varia, in particolare quando k cresce, in base al criterio scelto per confrontare le due funzioni.
Un metodo alternativo e più preciso per affrontare i punti 5. e 6. era quello di scegliere un criterio diverso per confrontare le funzioni. Potevamo scegliere di utilizzare l’errore medio, che si otteneva calcolando l’area compresa tra i due grafici oppure di valutare l’errore quadratico medio.
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