Il tuo liceo, nell’ambito dell’alternanza scuola lavoro, ha organizzato per gli studenti del quinto anno un’attività presso lo stabilimento ICE EXPRESS sito nella tua regione. All’arrivo siete stati divisi in vari gruppi. Il tuo, dopo aver visitato lo stabilimento e i laboratori, partecipa ad una riunione legata ai processi di produzione.
Un cliente ha richiesto una fornitura di blocchi di ghiaccio a forma di parallelepipedo a base quadrata, di volume 10 \(dm^3\), che abbiano il minimo scambio termico con l’ambiente esterno, in modo da resistere più a lungo possibile prima di liquefarsi.
Al tuo gruppo viene richiesto di determinare le caratteristiche geometriche dei blocchi da produrre, sapendo che gli scambi termici tra questi e l’ambiente avvengono attraverso la superficie dei blocchi stessi.
1. Determina il valore del lato b della base quadrata che consente di minimizzare lo scambio termico e il corrispondente valore dell’altezza h, tenendo presente la necessità che il volume sia \(dm^3\).
Si tratta di un problema di ottimizzazione vincolata, dove il volume del parallelepipedo a base quadrata, costituisce il vincolo:
\(V={{b}^{2}}h=10\,\) \(\Rightarrow \)\(h=\frac{10\,}{{{b}^{2}}}\)
Mentre la superficie del blocco di ghiaccio è la quantità da minimizzare, per ridurre al minimo lo scambio termico:
\(S=2{{S}_{base}}+{{S}_{laterale}}=2{{b}^{2}}+4bh=2{{b}^{2}}+\frac{40}{b}\)
Il punto di minimo si ottiene dallo studio del segno della derivata prima calcolata rispetto a b
\({S}’=4b-\frac{40}{{{b}^{2}}}>0\)\(\Rightarrow \)\(4{{b}^{3}}-40>0\)\(\Rightarrow \)\(b>\sqrt[3]{10}\)
Pertanto la minima superficie che consente il minimo scambio termico si ha se
\(b=h=\sqrt[3]{10}\,d{{m}^{3}}\)
Quindi scegliendo come forma geometrica un cubo (caso particolare di parallelepipedo)
Il blocco di ghiaccio al termine del processo produttivo si trova alla temperatura di -18°C. Esso viene posto su un nastro trasportatore che lo porta a un camion frigorifero, attraversando per due minuti un ambiente che viene mantenuto alla temperatura di 10°C; esso pertanto tende a riscaldarsi, con velocità progressivamente decrescente, in funzione della differenza di temperatura rispetto all’ambiente, e inizia a fondere se lungo il percorso raggiunge la temperatura di 0°C.
2. Scegli, motivando la tua scelta, quale delle seguenti funzioni è più idonea per rappresentare il processo di riscaldamento prima dell’inizio della liquefazione (\(T_a \)= temperatura ambiente, \(T_g \)= temperatura del ghiaccio all’istante \(t = 0\) , \(T(t) = \) temperatura del ghiaccio all’istante t, dove t è il tempo trascorso dall’inizio del riscaldamento, in minuti):\[𝑇(𝑡)=(𝑇_𝑎−𝑇_𝑔) \cdot 𝑒^{−𝐾𝑡} \] \[𝑇(𝑡)=(𝑇_𝑎−𝑇_𝑔) \cdot (1−𝑒^{−𝐾𝑡})+𝑇_𝑔 \] \[𝑇(𝑡)=(𝑇_𝑎−𝑇_𝑔)\cdot 𝑒^{𝐾𝑡}−𝑇_𝑎\]
e determina il valore che deve avere il parametro K perché il blocco di ghiaccio non inizi a fondere durante il percorso verso il camion frigorifero
La temperatura iniziale deve essere di -18°, quindi la funzione deve innanzi tutto rispettare la condizione T(0)= – 18.
L’unica funzione che rispetta questa condizione è la seconda funzione
𝑇(𝑡)=(𝑇𝑎−𝑇𝑔)(1−e-Kt) + 𝑇𝑔 = 10 – 28 e-Kt
A questo punto verifichiamo se la funzione individuata rispetta anche gli altri requisiti:
Deve riscaldarsi con velocità progressivamente, vuol dire che la funzione cercata deve essere monotona crescente T’>0 e concava T’’<0.
𝑇’(𝑡)= 28 K e-Kt >0 per qualunque valore di t se K>0
𝑇’’(𝑡)= -K2 28 e-Kt <0 per qualunque valore di t.
Inoltre in un tempo infinito deve raggiungere la temperatura limite di 10°C. Vuol dire che per \(t\to \infty \) si deve avere che \(T(t)\to 10\), e anche questo è verificato infatti
\(\underset{t\to \infty }{\mathop{\lim }}\,T(t)=10\) se K>0.
Per finire determiniamo il valore di K, affinché il ghiaccio non inizi a fondere durante il percorso, ovvero T(t)<0 nell’ intervallo tra 0 e 2. Si tratta di una funzione monotona crescente, quindi per risolvere il problema andiamo a confrontare l’istante in cui la temperatura è massima con 0°.
Si deve avere T(2)<0 \(\Rightarrow \) 10 – 28 e-Kt <0 \(\Rightarrow \)\(K<\ln \sqrt{\frac{14}{5}}\)
Per cui i valori di K ammissibili per la funzione sono:
\(0<K<\ln \sqrt{\frac{14}{5}}\)
3. Poiché il parametro K varia in funzione di diversi fattori produttivi, c’è un’incertezza del 10% sul suo effettivo valore. Ritieni che questo determini una incertezza del 10% anche sul valore della temperatura T del blocco di ghiaccio all’istante in cui raggiunge il camion frigorifero? Motiva la tua risposta, in modo qualitativo o quantitativo.
La temperatura con cui il ghiaccio raggiunge il camion è quella che si ottiene per t=2, si può esprimere in funzione di k e vale \(T(K)=10-28\,{{e}^{-2K}}\)
Si ha quindi che pe un qualunque valore di K, il valore effettivo è compreso nell’intervallo \([K-0.1K\,\,,\,\,\,K+0.1K]=[0.9K\,\,,\,\,1.1K]\)
All’interno di questo intervallo la temperatura di arrivo al camioncino varia nell’intervallo \([T(0.9K)\,\,,\,T(\,1.1K)]=[10-28\,{{e}^{-1.8K}},10-28\,{{e}^{-2.2K}}]\) e la variazione di temperatura all’interno di questo intervallo è pari a (\Delta T=T(0.9K)\,\,-T(\,1.1K)=28({{e}^{-2.2K}}-\,{{e}^{-1.8K}})\)
La temperatura di arrivo sarà pari al più pari a \(T(1.1K)\) con un errore relativo rispetto al valore atteso di \({{E}_{1}}(K)=\frac{T(1.1K)-T(K)}{T(K)}\).
La minima temperatura di arrivo invece sarà pari a \(T(0.9K)\) con un errore relativo rispetto al valore atteso di \({{E}_{2}}(K)=\frac{T(0.9K)-T(K)}{T(K)}\).
L’incertezza di misura può essere calcolata come il massimo errore percentuale commesso al variare di K, ovvero \(E(K)=\max \left\{ \left| {{E}_{1}}(K) \right|,\left| {{E}_{2}}(K) \right| \right\}\), dove l’incertezza può essere interpretata come “L’errore percentuale massimo che si ha rispetto alla temperatura di arrivo, in funzione del valore di K scelto”.
Attraverso uno studio dettagliato della funzione E(K) nell’intervallo \(0<K<\ln \sqrt{\frac{14}{5}}\), è possibile studiare come varia l’incertezza della temperatura di arrivo al furgoncino al variare di K.
Lo studio della funzione E(K) non è necessario per rispondere alla domanda.
Supponiamo di scegliere un valore di K=0.4 che si trova all’interno dell’intervallo considerato.
\({{E}_{1}}(0.4)=\frac{T(0.44)-T(0.4)}{T(0.4)}=\frac{-1.614+2.581}{2.581}=0.375=37.5%\)
Quindi per K=0.4 posso ottenere una temperatura di arrivo che risulta del 37.5% maggiore rispetto a quella prevista, che supera quasi di 4 volte l’errore percentuale del 10% massimo che posso avere sul valore di K.
Per concludere, possiamo dire che l’incertezza della temperatura di arrivo dei cubi di ghiaccio è una funzione che dipende da K, e che ci sono valori di K (ad esempio K=0.4) per cui l’incertezza può essere molto diversa rispetto all’incertezza di K.
L’azienda solitamente adopera, per contenere l’acqua necessaria a produrre un singolo blocco di ghiaccio, un recipiente cilindrico, con raggio della base eguale a 1,5 dm, e altezza eguale a 2 dm.
4. Sapendo che nel passaggio da acqua a ghiaccio il volume aumenta del 9,05%, stabilisci se il suddetto recipiente è in grado di contenere l’acqua necessaria a produrre il blocco richiesto e, in tal caso, a quale altezza dal fondo del recipiente arriverà l’acqua.
\({{V}_{Blocco}}=10\,d{{m}^{3}}\)
\({{V}_{Acqua}}=\frac{{{V}_{Blocco}}}{1.0905}=9,17\,d{{m}^{3}}\)
\({{V}_{Cilindro}}=\pi {{r}^{2}}h\simeq 14,14\,d{{m}^{3}}\)
\({{h}_{Acqua}}=\frac{{{V}_{Acqua}}}{\pi {{r}^{2}}}\simeq 1,3\,dm<2dm\)
