Quesito 5 – Simulazione Seconda prova scientifica 2019 matematica
Presi due punti \(𝐴(𝑎,𝑎^2)\) e \(𝐵(𝑏,𝑏^2)\) sulla parabola \(𝑦=𝑥^2\) , traccia la retta \(OC\), parallela alla retta \(AB\) e passante per l’origine e per il punto \(𝐶(𝑐,𝑐^2)\).
Dimostra che 𝑎+𝑏=𝑐.
Traccia un’altra parallela \(DE\), passante per due punti D ed E appartenenti alla parabola, e mostra che i punti medi delle tre parallele giacciono su una retta.
Continua a leggere la Soluzione del quesito 5 – Simulazione della seconda prova per la maturità scientifica 2019 – Prova di matematica – 26 novembre 2018 – MIUR
Soluzione
Traccia un’altra parallela DE, passante per due punti D ed E appartenenti alla parabola, e mostra che i punti medi delle tre parallele giacciono su una retta.
La retta passante per O e C ha equazione \(y=mx\), con \(m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{{{c}^{2}}}{c}=c\)
La retta passante per A e B ha lo stesso coefficiente angolare ma equazione \(y=mx+q\)
Dove l’intercetta q può essere calcolata imponendo il passaggio da A.
\(y=cx+q\)\(\Rightarrow \)\({{a}^{2}}=ca+q\)\(\Rightarrow\)\(y=cx+{{a}^{2}}-ca\)
La seconda retta interseca la parabola nel punto B=(b,b2), quindi si possono sostituire le coordinate del punto nell’equazione della retta.
\({{b}^{2}}=cb+{{a}^{2}}-ca\)\(\Rightarrow \)\({{b}^{2}}-{{a}^{2}}=cb-ca\)\(\Rightarrow\)\(\left( b-a \right)\left( b+a \right)=c\left( b-a \right)\)\(\Rightarrow \)\(b+a=c\)
La retta DE ha ancora lo stesso coefficiente angolare \(m=c\). Inoltre tenuto conto dell’equazione dimostrata al punto precedente \(b+a=c\), la stessa relazione vale per la retta DE con equazione \(d+e=c\)
Il punto medio di AB ha coordinate \({{M}_{AB}}=\left( \frac{a+b}{2},\frac{a{}^{2}+{{b}^{2}}}{2} \right)=\left( \frac{c}{2},\frac{a{}^{2}+{{b}^{2}}}{2} \right)\)
Il punto medio di DE ha coordinate \({{M}_{DE}}=\left( \frac{c}{2},\frac{d{}^{2}+{{e}^{2}}}{2} \right)\)
Il punto medio di OC ha coordinate \({{M}_{OC}}=\left( \frac{c}{2},\frac{{{c}^{2}}}{2} \right)\)
Le coordinate dei tre punti medi hanno in comune il valore dell’ascissa, pertanto si trovano tutti su una retta verticale di equazione x=c/2.
