Soluzione Quesito 6

Quesito 6 – Simulazione Seconda prova scientifica 2019  matematica

Il grafico della funzione polinomiale cubica \(𝑦=𝑓(𝑥)\) intercetta l’asse x nei punti di ascissa 10, 100 e 1000. È sufficiente questa informazione per individuare le coordinate del punto di flesso? Se sì, determinale. Se no, spiega per quale motivo.

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Soluzione

Una funzione polinomiale cubica ha equazione \(y=f(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\)

Per individuare le coordinate del punto di flesso, bisogna studiare il segno della derivata seconda.

\({f}'(x)=3a{{x}^{2}}+2bx+c\)

\({f}”(x)=6ax+2b>0\)\(\Rightarrow\)\(x>-\frac{b}{3a}\)

Il flesso si ha in xF=-b/(3a)

Interseca l’asse x nei punti di ascissa 10, 100 e 1000, vuol dire che passa per i punti A=(10,0), B=(100,0), C=(1000,0). Si ottiene il sistema

\(\left\{ \begin{align}  & {{10}^{3}}a+{{10}^{2}}b+10c+d=0 \\ & {{100}^{3}}a+{{100}^{2}}b+100c+d=0 \\ & {{1000}^{3}}a+{{1000}^{2}}b+1000c+d=0 \\\end{align} \right.\)

Divido tutte le equazioni del sistema per a, e chiamo b’=b/a, c’=c/a e d’=d/a.

\(\left\{ \begin{align}  & {{10}^{2}}{b}’+10{c}’+{d}’=-{{10}^{3}} \\ & {{100}^{2}}{b}’+100{c}’+{d}’=-{{100}^{3}} \\ & {{1000}^{2}}{b}’+1000{c}’+{d}’=-{{1000}^{3}} \\\end{align} \right.\)

A questo punto ho ottenuto un sistema a 3 equazioni e 3 incognite, dal quale sono interessato a calcolare la variabile b’ che posso ottenerla attraverso il metodo di Cramer.

\({b}’=\frac{\det \left| \begin{matrix}   -{{10}^{3}} & 10 & 1  \\   -{{100}^{3}} & 100 & 1  \\   -{{1000}^{3}} & 1000 & 1  \\ \end{matrix} \right|}{\det \left| \begin{matrix}   {{10}^{2}} & 10 & 1  \\   {{100}^{2}} & 100 & 1  \\   {{1000}^{2}} & 1000 & 1  \\ \end{matrix} \right|}=-1110\)

A questo punto, noto b’, posso calcolare la coordinata x del flesso e vale

 \({{x}_{F}}=-\frac{b}{3a}=-\frac{{{b}’}}{3}=\frac{1110}{3}\)

La funzione f(x) può essere riscritta nella forma f(x)=a(x-10)(x-100)(x-1000), considerato che ha tre zeri in corrispondenza di 10, 100 e 1000.

A questo punto la coordinata yF del punto di flesso si ottiene sostituendo nell’equazione la coordinata

yF=a(xF-10)(xF-100)(xF-1000).

Concludiamo dicendo che la coordinata x del punto di flesso può essere determinata numericamente, mentre la coordinata y dipende dal parametro a e pertanto non può essere determinata in maniera univoca. Il tutto può essere giustificato da un punto di vista geometrico considerando che per tre punti distinti del piano cartesiano, se il sistema ottenuto imponendo il passaggio dai 3 punti ammette soluzione, passano infinite funzioni polinomiali (fascio di curve).

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Professore di teoria dei segnali e analisi matematica


Professore Casparriello Marco

Esperto in didattica di Analisi Matematica e Teoria dei Segnali