Quesito 5 – Simulazione Seconda prova scientifica 2019 mista matematica + fisica
Un elettrone si muove, partendo da fermo, in un campo elettrico uniforme di intensità 𝐸=10𝑘𝑉/𝑐𝑚. Descrivi il procedimento che adotteresti per determinare l’istante in cui l’energia cinetica dell’elettrone sarà uguale alla sua energia a riposo.
Continua a leggere la soluzione del quesito 5 – Simulazione maturità scientifica 2019 – prova multidisciplinare che aggiunge la fisica alla tradizionale matematica – 26 novembre 2019 – MIUR
Soluzione
– Questo quesito, come è stato rilevato, è ripreso da un esercizio (3.375) del testo: I. E. Irodov. Problems in General Physics, MIR, Mosca 1981. Il testo originale, in realtà, era formulato in modo non ambiguo:
“3.375. An electron starts moving in a uniform electric field of strength E = 10 kV/cm. How soon after the start will the kinetic energy of the electron become equal to its rest energy?”
Indichiamo con 𝑚 la massa (a riposo) dell’elettrone, con 𝑒 la carica, con 𝐾 l’energia cinetica e con
\(\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}\) il fattore di Lorentz.
L’energia totale è \(E=\gamma m{{c}^{2}}=m{{c}^{2}}+K\) e, se deve essere \(K=m{{c}^{2}}\), allora si deve avere che \(\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}=2\) e quindi \({{\beta }^{2}}=\frac{3}{4}\)
A questo punto ricordando che il fattore beta è definito come il rapporta tra la velocità del sistema di riferimento solidale con l’elettrone (la velocità dell’elettrone stesso) e la velocità della luce c= 299 792 458 m/s.
\(\beta \equiv \frac{v}{c}\) \(\Rightarrow \) \(v=\frac{\sqrt{3}}{2}c\)
Abbiamo così ottenuto la velocità tale che l’elettrone raggiunga l’energia cinetica uguale alla sua energia a riposo.
Il campo elettrico è costante, quindi esercita una forza costante sull’elettrone e di conseguenza un’accelerazione costante (seconda legge di Newton).
Detta e= −1,60 · 10−19 C la carica dell’elettrone e m= 9,11 · 10−31kg si ha:
\(F=eE\),\(F=ma\) \(\Rightarrow \) \(a=\frac{F}{m}=\frac{eE}{m}\)
A questo punto per ricavare il tempo necessario a raggiungere la velocità \(v=\frac{\sqrt{3}}{2}c\), introduciamo la quantità di moto, che per velocità confrontabili con la luce assume la forma:
\(p=\gamma mv\) .
Inoltre nella seconda legge di Newton, possiamo riscrivere la forza come la derivata rispetto al tempo della quantità di moto \(F=\frac{dp}{dt}=ma\), da cui si ottiene:
\(dp=ma\,dt\)
Integrando entrambi i membri dell’equazione:
\(\int\limits_{0}^{p}{dp}=\int\limits_{0}^{t}{ma\,dt}\) \(\Rightarrow\) \(p=ma\,t\)
E quindi a questo punto possiamo scrivere:
\(p=\gamma mv=ma\,t\)
Semplificando le masse e sostituendo l’espressione dell’accelerazione, della velocità e il fattore di Lorentz, si ha:
\(\frac{eE}{m}t=2\frac{\sqrt{3}}{2}c\) \(\Rightarrow\) \(t=\frac{\sqrt{3}\,mc}{eE}=3ns\)
Curiosità: Il Quesito 5 – Simulazione Seconda prova scientifica 2019 mista matematica + fisica – Risulta copiato da un testo russo (Irodov)
Come mostrato nella figura, in cui si riporta lo screen del testo originale dell’esercizio, il quesito 5, come anche il quesito 1 e il quesito 8, sono stati copiati dal testo russo I. E. lrodov. Problems in General. Physics. Mir Publishers Moscow 1981.
Screen del libro di testo originale da cui è stato tratto il quesito 5
Potete scaricare il libro originale dal seguente link. http://xn--b1aahabbrbr2bikfzb.xn--p1ai/wp-content/uploads/2015/04/Irodov-Problems.pdf . Il quesito in questione si trova a pagina 160 del pdf.
