Soluzione del quesito 5 – Simulazione maturità scientifica 2019

Quesito 5 – Simulazione Seconda prova scientifica 2019 mista matematica + fisica

Un elettrone si muove, partendo da fermo, in un campo elettrico uniforme di intensità 𝐸=10𝑘𝑉/𝑐𝑚. Descrivi il procedimento che adotteresti per determinare l’istante in cui l’energia cinetica dell’elettrone sarà uguale alla sua energia a riposo.

Continua a leggere la soluzione del quesito 5 – Simulazione maturità scientifica 2019 – prova multidisciplinare che aggiunge la fisica alla tradizionale matematica – 26 novembre 2019 – MIUR

 

Soluzione

– Questo quesito, come è stato rilevato, è ripreso da un esercizio (3.375) del testo: I. E. Irodov. Problems in General Physics, MIR, Mosca 1981. Il testo originale, in realtà, era formulato in modo non ambiguo:

“3.375. An electron starts moving in a uniform electric field of strength E = 10 kV/cm. How soon after the start will the kinetic energy of the electron become equal to its rest energy?”

Indichiamo con 𝑚 la massa (a riposo) dell’elettrone, con 𝑒 la carica, con 𝐾 l’energia cinetica e con

\(\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}\) il fattore di Lorentz.

L’energia totale è \(E=\gamma m{{c}^{2}}=m{{c}^{2}}+K\) e, se deve essere \(K=m{{c}^{2}}\), allora si deve avere che \(\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}=2\) e quindi \({{\beta }^{2}}=\frac{3}{4}\)

A questo punto ricordando che il fattore beta è definito come il rapporta tra la velocità del sistema di riferimento solidale con l’elettrone (la velocità dell’elettrone stesso) e la velocità della luce c= 299 792 458 m/s.

\(\beta \equiv \frac{v}{c}\) \(\Rightarrow \) \(v=\frac{\sqrt{3}}{2}c\)

Abbiamo così ottenuto la velocità tale che l’elettrone raggiunga l’energia cinetica uguale alla sua energia a riposo.

Il campo elettrico è costante, quindi esercita una forza costante sull’elettrone e di conseguenza un’accelerazione costante (seconda legge di Newton).

Detta e= −1,60 · 10−19 C la carica dell’elettrone e m= 9,11 · 10−31kg si ha:

\(F=eE\),\(F=ma\) \(\Rightarrow \) \(a=\frac{F}{m}=\frac{eE}{m}\)

A questo punto per ricavare il tempo necessario a raggiungere la velocità \(v=\frac{\sqrt{3}}{2}c\), introduciamo la quantità di moto, che per velocità confrontabili con la luce assume la forma:

 \(p=\gamma mv\) .

Inoltre nella seconda legge di Newton, possiamo riscrivere la forza come la derivata rispetto al tempo della quantità di moto \(F=\frac{dp}{dt}=ma\), da cui si ottiene:

 \(dp=ma\,dt\)

Integrando entrambi i membri dell’equazione:

\(\int\limits_{0}^{p}{dp}=\int\limits_{0}^{t}{ma\,dt}\)  \(\Rightarrow\) \(p=ma\,t\)

E quindi a questo punto possiamo scrivere:

\(p=\gamma mv=ma\,t\)

Semplificando le masse e sostituendo l’espressione dell’accelerazione, della velocità e il fattore di Lorentz, si ha:

\(\frac{eE}{m}t=2\frac{\sqrt{3}}{2}c\) \(\Rightarrow\)  \(t=\frac{\sqrt{3}\,mc}{eE}=3ns\)

Curiosità: Il Quesito 5 – Simulazione Seconda prova scientifica 2019 mista matematica + fisica – Risulta copiato da un testo russo (Irodov)

Come mostrato nella figura, in cui si riporta lo screen del testo originale dell’esercizio, il quesito 5, come anche il quesito 1 e il quesito 8, sono stati copiati dal testo russo I. E. lrodov. Problems in GeneralPhysics. Mir Publishers Moscow 1981.

esercizio copiato da un testo russo - simulazione seconda prova maturità scientifica

Screen del libro di testo originale da cui è stato tratto il quesito 5

Potete scaricare il libro originale dal seguente link. http://xn--b1aahabbrbr2bikfzb.xn--p1ai/wp-content/uploads/2015/04/Irodov-Problems.pdf . Il quesito in questione si trova a pagina 160 del pdf.

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Soluzione quesito 4

Soluzione quesito 6

Professore di teoria dei segnali e analisi matematica


Professore Casparriello Marco

Esperto in didattica di Analisi Matematica e Teoria dei Segnali