Dimostrazione dell’equivalenza tra diverse definizioni di punto di accumulazione

Dimarco casparriello

Dimostrazione dell’equivalenza tra diverse definizioni di punto di accumulazione

DIMOSTRAZIONE DELL’EQUIVALENZA TRA DIVERSE DEFINIZIONI DI PUNTO DI ACCUMULAZIONE

Nell’esame di analisi matematica 1 spesso viene chiesto  di dimostrare l’equivalenza tra diverse definizioni di punti di accumulazione, nel video seguente si riporta la dimostrazione.

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Punti di accumulazione

Definizione 1

Dato un insieme reale \(A\subseteq \mathbb{R}\),\(accA\) è l’insieme dei punti di accumulazione di \(A\), cioè l’insieme dei punti che rispettano la definizione \(x\in accA\) \(\Leftrightarrow \) \(\forall \delta >0\,\,\left( x-\delta ,x+\delta  \right)\cap A\backslash \left\{ x \right\}\ne \varnothing \) .

Definizione 2

Esiste poi una seconda definizione equivalente a quella appena data, che afferma che\(x\in accA\), se ogni suo intorno contiene infiniti elementi di \(A\). In formule si può scrivere \(x\in acc(A)\) \(\Leftrightarrow \) \(\forall \delta >0\,\,\)(anche piccolissimo)\(B=\left( x-\delta ,x+\delta  \right)\cap A\backslash \left\{ x \right\}\ne \varnothing \) è un insieme infinito, cioè contiene infiniti elementi.

Dimostrazione

Dimostriamo ora l’equivalenza tra le due definizioni:
Facciamo una dimostrazione per assurdo negando il fatto che l’insieme \(B\) è infinito. Se B fosse finito, allora si avrebbe che fissato un certo \(\delta \), esso conterrebbe un numero finito di elementi e quindi potrebbe essere rappresentato come un insieme per elenco \(A=\left\{ {{x}_{1}},..,{{x}_{N}} \right\}\)  costituito da \(N\) elementi. A questo punto, se scegliessi \(\delta ‘=\min \left| {{x}_{k}}-x \right|\) si avrebbe che \(\left( x-{\delta }’,x+{\delta }’ \right)\cap A\backslash \left\{ x \right\}=\varnothing \) e quindi si arriverebbe a negare anche la prima definizione.

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marco casparriello administrator

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