Esercizio svolto di integrale triplo

Calcolare il seguente integrale triplo:

\(\iiint\limits_{A}{\frac{x}{{{\left( y-1 \right)}^{2}}}dxdydz}\), \(A=\left\{ (x,y,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2y\le 0,x\ge 0,0\le z\le y\le \frac{1}{2}\, \right\}\)

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Soluzione

L’insieme di integrazione è costituito da una porzione di cilindro delimitata da alcuni piani.

Porzione di cilindro

Per capire come integrare sull’insieme A, proviamo a vedere come è fatta una sezione del solido a una certa quota z. La superficie che si ottiene è quella rappresentata nella figura seguente.

sezione del solido a z fissato
Si tratta di una porzione di cerchio di centro (1,0) e raggio unitario, delimitata da due rette orizzontali.

Conviene descrivere il cerchio come una funzione della variabile y ovvero:\(x=\sqrt{2y-{{y}^{2}}}\)

\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2y\le 0,x\ge 0\) \(\Rightarrow\) \(0\le x\le \sqrt{2y-{{y}^{2}}}\)

La condizione \(0\le z\le y\le \frac{1}{2}\,\) si divide in due condizioni più semplici:

\(0\le z\le y\le \frac{1}{2}\,\) \(\Rightarrow \) \(0\le z\le y\) ,\(0\le y\le \frac{1}{2}\,\)

A questo punto l’insieme di integrazione diventa:

\(A=\left\{ (x,y,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,0\le y\le \frac{1}{2}\,,\,0\le z\le y,0\le x\le \sqrt{2y-{{y}^{2}}}\, \right\}\)

Torniamo all’integrale principale, poniamo gli estremi di integrazione e facciamo i calcoli:

\(\iiint\limits_{A}{\frac{x}{{{\left( y-1 \right)}^{2}}}dxdzdy}=\) \(\int\limits_{y=0}^{1/2}{\int\limits_{z=0}^{y}{\frac{1}{{{\left( y-1 \right)}^{2}}}\int\limits_{x=0}^{\sqrt{2y-{{y}^{2}}}}{xdx}dz}dy}=\) \(\int\limits_{y=0}^{1/2}{\frac{1}{{{\left( y-1 \right)}^{2}}}\int\limits_{z=0}^{y}{\left[ \frac{{{x}^{2}}}{2} \right]_{0}^{\sqrt{2y-{{y}^{2}}}}dz}dy}=\) \(\int\limits_{y=0}^{1/2}{\frac{2y-{{y}^{2}}}{2{{\left( y-1 \right)}^{2}}}\int\limits_{z=0}^{y}{dz}dy}=\) \(\int\limits_{y=0}^{1/2}{\frac{2y-{{y}^{2}}}{2{{\left( y-1 \right)}^{2}}}y\cdot dy}=\) \(\int\limits_{y=0}^{1/2}{\frac{2{{y}^{2}}-{{y}^{3}}}{2{{\left( y-1 \right)}^{2}}}dy}=\) \(\int\limits_{y=0}^{1/2}{-\frac{y}{2}+\frac{1}{2\left( y-1 \right)}+\frac{1}{2{{\left( y-1 \right)}^{2}}}dy}=\)  \(\left[ -\frac{{{y}^{2}}}{4}+\frac{1}{2}\log |y-1|-\frac{1}{2\left( y-1 \right)} \right]_{0}^{1/2}=\) \(\frac{7}{16}-\frac{1}{2}\log 2\)

Il risultato dell’integrale triplo è quindi \(\frac{7}{16}-\frac{1}{2}\log 2\). Si conclude così l’esercizio svolto di integrale triplo. Continua la navigazione sul sito per leggere altri esempi svolti.

Integrali Tripli

Lezioni di Analisi Matematica 2


Autore: ing. Casparriello Marco

Lezioni di matematica e fisica a cura di Marco Casparriello.