L’infinito in analisi matematica

Il simbolo dell’infinito

Parliamo in questa lezione del simbolo dell’infinito e il signifcato che assume nell’analisi matematica. L’infinito ci viene in genere presentato facendocelo immaginare. Infatti basta dire “pensa ad un numero”, e poi si dice “qualunque numero tu abbia pensato ne esiste sempre uno più grande”, e in effetti se si potesse porre un limite superioreall’insieme di tutti i numeri (in genere quando pensiamo ad un numero, ci viene naturale pensare all’insieme dei numeri naturali), questo varrebbe infinito. L’infinito si rappresenta attraverso il simbolo\inline \infty ed in pratica non è un numero comune, infatti non appartiene a nessuno degli insiemi numerici.L’infinito viene spesso associato con la nozione di limite in analisi, ma possiamo incontrarlo anche all’interno degli integrali e all’interno delle serie. Il simbolo dell’infinito viene utilizzato anche nell’ambito della geometria proiettiva e nella teoria degli insiemi con un significato diveso.

L’infinito nei limiti

In genere l’infinito ci viene spesso presentato attraverso i limiti, a simboleggiare qualcosa di infefinitamente grande, e viene spesso utilizzato come un numero. Attenzione che la scrittura x\rightarrow \infty non è lo stesso che scrivere x=\infty. Più in generale diciamo che è un errore comune in matematica pensare ai limiti come un ugualglianza.

L’errore sta nel fatto che tendendere vuol dire avvicinarsi indefinitamente a un valore senza però mai raggiungerlo. Quindi se si fa tendere x ad infinito, vuol dire vedere come si comporta un qualcosa che dipende dalla variabile x, quando la variabile diventa indefinitamente grande.

Infinito possiamo pensarlo quindi come qualcosa di indefinitamente grande, cioè la cui dimensione non è misurabile con i numeri convenzionali. 

Se ad esempio scriviamo \(\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty\) , a parole possiamo dire “se  anche “, e il significato matematico è che f(x) è una funzione che cresce in maniera illimitata all’aumentare della variabile reale x. Naturalmente il fatto di tendere all’infinito non è legato assolutamente alla rapidità di crescita della funzione. Il limite ci dice semplicemente che per ogni valore reale M, anche grandissimo, prima o poi verrà superato dalla funzione f(x) definitivamente, cioèesisterà un qualche valore k, per cui si avrà che f(x)>M per qualsiasi valore di x più grande di k. In formule si scrive \(\forall K\in \mathbb{R} , \exists M>0 |\, f(x)>M,\, \forall x>K\) ed è l’equivalente di scrivere \(\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty\), ma questo lo approfondiremo meglio nelle lezioni teoriche.

Serie numeriche

Un’altra situazione dell’analisi matematica in cui si utilizza l’infinito sono le serie numeriche.

La serie numerica è la somma degli infiniti termini che compongono una successione:

\(\sum_{n=1}^{+\infty}a_n=a_1+a_2+a_3+…\)

Quest’ultima è meglio definita attraverso un limite. Infatti definendo la successione delle somme parziali come

\(s_n=\sum_{k=1}^{n}a_n=a_1+a_2+a_3+..+a_{n-1}+a_n\)

Possiamo ridefinire la serie numerica come il limite della successione delle somme parziali

\(\sum_{n=1}^{+\infty}a_n=\lim_{n\rightarrow +\infty}s_n\)

Integrali Impropri

Gli integrali impropri sono degli integrali definiti, dove qualcosa tra l’intervallo di integrazione oppure la funzione integranda sono illimitati sull’intervallo di integrazione.

Quindi avremo due situazioni in particolare che vengono trattate negli esercizi di analisi matematica.

  1. L’intervallo di integrazione illimitato si può rappresentare con questo tipo di situazione \(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\).
  2. La funzione è illimitata in uno dei due estremi \(\int_{a}^{b}f(x)dx\) con f(x) continua in (a,b], e \(\lim_{x\rightarrow a^+}f(x)=\infty\)

Per la simbologia usata in latex per rappresentare le formule si rimanda alla pagina dedicata cliccando qui.

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