Appendice A

Il terreno può essere rappresentato attraverso una funzione dello spazio, che rappresenta quota:

\(z=f(\mathbf{R})\),    dove:  \(\mathbf{R}=(x,y)\)

Il terreno può essere visto come la realizzazione di un processo aleatorio bidimensionale, a valor medio nullo e deviazione standard (RMS) h:

\[<f(\mathbf{R})>=0\]

\[{{h}^{2}}=<{{f}^{2}}(\mathbf{R})>\]

Il processo, è inoltre caratterizzato dalla funzione di autocorrelazione:

\[B\text{(}\mathbf{R}\text{) = }f\text{(}{{\mathbf{R}}_{0}}\text{ +}\mathbf{R}\text{)}f\text{(}{{\mathbf{R}}_{0}}\text{) }\]

A partire da quest’ultima, è possibile ottenere la densità spettrale di potenza nel dominio del vettore d’onda, sfruttando il seguente integrale di Fourier:

\[W\text{(}\mathbf{K}\text{) =}\frac{1}{{{(2\pi )}^{2}}}\int{B(\mathbf{R}){{e}^{-i\mathbf{K}\cdot \mathbf{R}}}{{d}^{2}}R}\]

\(\mathbf{K}=({{K}_{x}},{{K}_{y}})\), rappresenta il vettore d’onda nel dominio delle frequenze spaziali.

Un’espressione che tipicamente descrive bene la rugosità del terreno, è la seguente:

\[W(K)=\frac{w}{{{K}^{\gamma }}}\]

w e γ sono parametri che dipendono dal tipo di materiale (ad esempio sabbia, roccia, ghiaia oppure composizioni miste).  K rappresenta il modulo del vettore d’onda ed è rappresentato dalla seguente espressione:

\[K=\sqrt{{{K}_{x}}^{2}+{{K}_{y}}^{2}}\]

La varianza del terreno, è legata alla sua DSP, attraverso la seguente relazione:

\[{{h}^{2}}=\int{W(\mathbf{K}){{d}^{2}}K}\]

Il legame tra frequenze spaziali $({{F}_{x}},{{F}_{y}})$ e vettore d’onda spaziale $({{K}_{x}},{{K}_{y}})$ è il seguente:

\[{{K}_{x}}=2\pi {{F}_{x}}\]  ,   \[{{K}_{y}}=2\pi {{F}_{y}}\]

Se si vuole ottenere l’espressione della DSP nel dominio delle frequenze spaziali, a partire da quella nel dominio del vettore d’onda si può sfruttare la relazione:

\[\Phi ({{F}_{x}},{{F}_{y}})={{(2\pi )}^{2}}W(2\pi {{F}_{x}},2\pi {{F}_{y}})\]

Anche nel dominio delle frequenze spaziali, l’espressione della DSP è della forma:

\[\Phi ({{F}_{x}},{{F}_{y}})=\frac{\phi }{{{F}^{\gamma }}}\]

I parametri  ϕ, γ e RMS (deviazione standard) sono stati misurati attraverso campagne di misura e sono mostrati in figura.

Simulatore side scan sonar

Autore del software sviluppato in MATLAB Ing Casparriello Marco