Curvatura dei raggi in ambiente marino subacqueo

Per introdurre il problema della curvatura dei raggi, all’interno dell’oceano, si supponga inizialmente un mezzo a strati orizzontali, dove ogni strato è caratterizzato dalla costante di propagazione \({{k}_{k}}\). L’onda si propaga lungo il piano (x,z), dove z rappresenta la quota.

All’interfaccia tra due strati, si verifica il fenomeno della rifrazione, e il legame tra l’angolo di incidenza e l’angolo rifratto è dato dalla legge di Snell. La figura 2.3 ne illustra il fenomeno.

Tra il primo ed il secondo strato:

                                     \({{k}_{1}}\cos {{\theta }_{1}}={{k}_{2}}\cos {{\theta }_{2}}\)

Con \({{\theta }_{1}}\)  e  \({{\theta }_{2}}\) , angoli di radenza. Tra il secondo e il terzo strato:

                                     \({{k}_{2}}\cos {{\theta }_{2}}={{k}_{3}}\cos {{\theta }_{3}}\)

Facendo tendere a zero lo spessore degli strati, si ottiene che \(\theta \left( z \right)\) è una funzione continua della quota, e si può scrivere la seguente equazione:

\(k\left( {{z}_{1}} \right)\cos \left[ \theta \left( {{z}_{1}} \right) \right]=k\left( {{z}_{2}} \right)\cos \left[ \theta \left( {{z}_{2}} \right) \right]\)

Da questa equazione, si evince che per calcolare l’inclinazione finale  nota quella iniziale \(\theta \left( {{z}_{1}} \right)\) , non occorre conoscere l’andamento della velocità del suono lungo il percorso, ma semplicemente quella iniziale e quella finale:

     \(\theta \left( {{z}_{1}} \right)=\arccos \left[ \frac{k\left( {{z}_{2}} \right)}{k\left( {{z}_{1}} \right)}\cos \left[ \theta \left( {{z}_{2}} \right) \right] \right]\)

Osservando la figura 2.3 si nota che per un mezzo stratificato vale la relazione:

            \(\frac{\Delta r}{\Delta z}=\cot {{\theta }_{i}}\)

Ritornando ora all’ipotesi che \(c\left( z \right)\) è una funzione continua, la relazione diventa:  \(\frac{\partial r}{\partial z}=\cot \theta \left( z \right)\), e la lunghezza del  raggio curvilineo si può ottenere attraverso il seguente integrale:

                                                                \(r\left( z \right)=\int\limits_{{{z}_{0}}}^{{{z}_{1}}}{\cot \theta \left( z \right)dz}\)

A questo punto vediamo come si fa per costruire il tracciato di un raggio acustico, noto il profilo della velocità del suono.

Si parte dalle equazioni di Helmholtz in coordinate cartesiane \(\mathbf{x}=(x,y,z)\) :

                   \({{\nabla }^{2}}p+\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}\left( \mathbf{x} \right)}p=-\delta \left( \mathbf{x}-{{\mathbf{x}}_{0}} \right)\)

Dove \({{\mathbf{x}}_{0}}\) è la posizione della sorgente. Si suppone una soluzione del tipo \(p\left( \mathbf{x} \right)={{e}^{i\omega \tau \left( x \right)}}\sum\limits_{j=0}^{\infty }{\frac{{{A}_{j}}\left( \mathbf{x} \right)}{{{\left( i\omega  \right)}^{j}}}}\), nota come serie dei raggi. Sostituendo l’espressione nell’equazione di Helmholtz, eguagliando i termini dello stesso ordine e trascurando tutti i termini dalla serie dei raggi ad eccezione del primo (approssimazione per le alte frequenze), si ottengono le seguenti espressioni:

\(\begin{matrix} O\left( {{\omega }^{2}} \right) & :{{\left| \nabla \tau \right|}^{2}}={{c}^{-2}}\left( \mathbf{x} \right)  \\ \end{matrix}\)

\(\begin{matrix}O\left( \omega  \right) & :2\nabla \tau \cdot \nabla {{A}_{0}}+\left( {{\nabla }^{2}}\tau  \right){{A}_{0}}=0  \\ \end{matrix}\)

\(\begin{matrix}  O\left( {{\omega }^{1-j}} \right) & :2\nabla \tau \cdot \nabla {{A}_{j}}+\left( {{\nabla }^{2}}\tau  \right){{A}_{j}}=-{{\nabla }^{2}}{{A}_{j-1}},\begin{matrix}{} & j=1,2,..  \\ \end{matrix}  \\ \end{matrix}\)

La prima espressione, rappresenta l’equazione di eikonal (in cui \(\nabla \tau \) è un vettore perpendicolare al fronte d’onda) e la soluzione permette di calcolare la traiettoria dei raggi, mentre le altre sono note come equazioni del trasporto e si possono sfruttare per il calcolo dell’intensità acustica associata a ciascun raggio.

Ipotizzando un profilo della velocità del suono dipendente solo dalla quota, si ottiene che il problema ha simmetria cilindrica.

Parametrizzando opportunamente l’equazione di eikonal, si ottiene il seguente sistema di equazioni differenziali:

\(\begin{matrix}  \frac{dr}{ds}=c\xi \left( s \right), & \frac{dz}{ds}=c\zeta \left( s \right), & \frac{d\xi }{ds}=-\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial c}{\partial r}, & \frac{d\zeta }{ds}=-\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial c}{\partial z}  \\ \end{matrix}\)

\( [r\left( s \right),z\left( s \right)]\)  rappresenta la traiettoria del raggio in forma parametrica, e in coordinate cilindriche. Non c’è la dipendenza dall’angolo, per motivi di simmetria. Il vettore \({{\mathbf{t}}_{ray}}=c\cdot \left[ \xi \left( s \right),\zeta \left( s \right) \right]\), rappresenta la tangente al raggio e il vettore \({{\mathbf{n}}_{ray}}=c\cdot \left[ -\zeta \left( s \right),\xi \left( s \right) \right]\) rappresenta la normale. In figura 2.4 sono mostrati i vettori, in coordinate cilindriche.

Le condizioni iniziali da applicare per risolvere il sistema di equazioni (2.14), tenuto conto che \({{\theta }_{0}}\), è l’inclinazione iniziale del raggio, sono le seguenti:

\(\begin{matrix} r={{r}_{0}}, & z={{z}_{0}}, & \xi =\frac{\cos {{\theta }_{0}}}{c\left( 0 \right)}, & \zeta =\frac{\sin {{\theta }_{0}}}{c\left( 0 \right)}  \\ \end{matrix}\)

Tipicamente, per ottenere una soluzione al sistema di equazioni e costruire la traiettoria dei raggi, si può procedere per via numerica, utilizzando il metodo dell’integrazione diretta oppure il metodo delle celle.

Simulatore side scan sonar