Ipotesi 2: $f\left( 0 \right)=0$ .

Ipotesi 3: ???

Tesi: $f$ ammette sicuramente minimo assoluto in $\left( 0,+\infty  \right)$ ?

Quale ipotesi bisogna aggiungere per essere sicuri che si verifichi la tesi?

$\left[ 1 \right]\,\,\,{f}’\left( 0 \right)<0\,\,\Rightarrow $ equivale a dire che la funzione in prossimità dell’origine è decrescente. Questa condizione non è sufficiente perché non pone nessun limite sull’andamento della funzione per $x\to +\infty $ . Si può avere quindi  $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-\infty $che contraddirebbe la tesi. Si può escludere quindi anche la risposta $\left[ 4 \right]$

$\left[ 2 \right]\,\,\,{f}’\left( 0 \right)>0\,\,\Rightarrow $ equivale a dire che la funzione in prossimità dell’origine è crescente. Anche questa condizione come prima non è sufficiente perché non pone nessun limite sull’andamento della funzione per $x\to +\infty $ . Si può avere quindi  $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-\infty $che contraddirebbe la tesi.

La risposta $\left[ 4 \right]$ è corretta. Dimostrazione:

$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)>0$ . Dal teorema della permanenza del segno, si ha che $\exists M>0:\,\,f\left( x \right)>0\,\,\,\forall x>M$ .

Fissato un intervallo un intervallo $\left[ 0,\bar{x} \right]$ con $\bar{x}>M$ allora per Weierstress la funzione ammette minimo assoluto in tale intervallo, e si ha che $\underset{x\in \left[ 0,\bar{x} \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)\le 0$ visto che $f\left( 0 \right)=0$. D’altronde $f\left( x \right)>0\,\,\forall x>\bar{x}$ e quindi: $\underset{x\in \left[ 0,\bar{x} \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=\underset{x\in [0,+\infty )}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)$ .

Esercizio 7

La funzione fornita dalla traccia è la seguente:

$f\left( x \right)=\frac{2x+1}{\sqrt{{{x}^{2}}+2x}}$

Minimo assoluto su $I=\left( 0,+\infty  \right)$ .

Verifico che è definita su tutto l’intervallo $I$: Bisogna porre ${{x}^{2}}+2x>0\,\,\Rightarrow \,\,\,x<-2\,\vee \,x>0$ . Faccio i limiti ai bordi dell’intervallo

\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2x+1}{\sqrt{{{x}^{2}}+2x}}=2\,\,\,,\,\,\,\,\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x+1}{\sqrt{{{x}^{2}}+2x}}=+\infty \,\,\]

Studio la derivata prima:

\[\frac{d}{dx}\frac{2x+1}{\sqrt{{{x}^{2}}+2x}}=\frac{x-1}{\left( {{x}^{2}}+2x \right)\sqrt{{{x}^{2}}+2x}}>0\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,x-1>0\,\,\,\Rightarrow \,\,\,x>1\]

Il minimo assoluto della funzione è in $x=1$ e vale $f\left( 1 \right)=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$ . La risposta corretta è la $\left[ 2 \right]$

Esercizio 8

Vogliamo studiare da un punto di vista topologico l’insieme reale $A=\left\{ {{\left( -1 \right)}^{n}}+\frac{n}{n+1}:\,\,\,n\in \mathbb{N} \right\}$

La successione ${{\left( -1 \right)}^{n}}+\frac{n}{n+1}$  può essere divisa in due sottosuccessioni:

Per $n$ pari, si ha:    $1+\frac{n}{n+1}\,=\,\frac{2n+1}{n+1}\,\Rightarrow \,\,\left\{ \frac{5}{3},\,\frac{9}{5},\,\frac{13}{7},\,\,… \right\}\,\Rightarrow \,\,\,\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2n+1}{n+1}\,=2$

Per $n$ dispari, si ha:   $-1+\frac{n}{n+1}\,=\,\frac{-1}{n+1}\,\Rightarrow \,\,\left\{ -\frac{1}{2},\,-\frac{1}{4},\,-\frac{1}{6},\,\,… \right\}\,\Rightarrow \,\,\,\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-1}{n+1}\,=0$

$acc\,A=\left\{ 0,2 \right\}\notin A\,\,\,\Rightarrow \,\,A\,$non è chiuso.

 Si ha che $\sup A=2\notin A\,\,\Rightarrow $ non c’è il massimo.

$-1\,\,\notin \,\,accA$

Mentre è vero che $0\in accA$, quindi la risposta corretta è la $\left[ 4 \right]$ .

Esercizio 9

L’integrale $\int\limits_{1}^{4}{\sin \left( \pi \sqrt{x} \right)dx}$ può essere calcolato mediante cambio di variabile.

Effettuiamo il cambio di variabile $\pi \sqrt{x}=t\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,{{\pi }^{2}}x={{t}^{2}}\,\,\,\Rightarrow \,\,dx=\frac{2t}{{{\pi }^{2}}}\,dt$

Gli estremi diventano: $x=1\,\,\Rightarrow \,\,t=\pi $ ,  $x=4\,\,\,\Rightarrow \,\,t=2\pi $

$\frac{2}{{{\pi }^{2}}}\int\limits_{\pi }^{2\pi }{t\,\sin t\,\,dt}=\left[ -\frac{2}{{{\pi }^{2}}}t\cos t \right]_{\pi }^{2\pi }+\frac{2}{{{\pi }^{2}}}\int\limits_{\pi }^{2\pi }{\cos t\,\,dt}=-\frac{2}{{{\pi }^{2}}}2\pi -\frac{2}{{{\pi }^{2}}}\pi +\left[ \frac{2}{{{\pi }^{2}}}\sin t \right]_{\pi }^{2\pi }=-\frac{6}{\pi }$

La risposta corretta è la $\left[ 4 \right]$

Esercizio 10

Nella prima serie manca la condizione necessaria alla convergenza visto che la successione non tende a zero.

$\frac{\sqrt{{{4}^{n}}+1}}{{{4}^{\sqrt{n}}}+{{2}^{n}}}\sim \frac{\sqrt{{{4}^{n}}}}{{{2}^{n}}}\to 1$

La seconda invece:

${{\sin }^{2}}\left( \frac{2n+5}{\sqrt[3]{{{n}^{5}}+4}} \right)\sim {{\left( \frac{2n+5}{\sqrt[3]{{{n}^{5}}+4}} \right)}^{2}}\sim \frac{4{{n}^{2}}}{{{n}^{{10}/{3}\;}}}=\frac{4}{{{n}^{4/3}}}$

Converge per confronto con la serie armonica generalizzata con $\alpha ={4}/{3}\;$. Delle due converge solo la seconda e la risposta corretta è la $\left[ 3 \right]$

Esercizio 11

$f\left( x \right)=\frac{2x+1}{\sqrt{{{x}^{2}}+2x}}$.

Per il dominio bisogna porre ${{x}^{2}}+2x>0\,\,\Rightarrow \,\,\,x<-2\,\vee \,x>0$ . Faccio i limiti ai bordi del dominio:

\[\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2x+1}{\sqrt{{{x}^{2}}+2x}}=2\,\,\,\Rightarrow \] asintoto orizzontale bilatero $y=2$

\[\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x+1}{\sqrt{{{x}^{2}}+2x}}=+\infty \,\,\Rightarrow \] asintoto verticale $x=0$

\[\underset{x\to -{{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x+1}{\sqrt{{{x}^{2}}+2x}}=\frac{-3}{{{0}^{+}}}=-\infty \,\,\,\Rightarrow \,\,\] asintoto verticale $x=2$

Pertanto ci sono due asintoti verticali ed uno orizzontale e la risposta corretta è la $\left[ 2 \right]$