Sistemi di equazioni differenziali

Sistemi di equazioni differenziali

 

Sistemi differenziali lineari omogenei del primo ordine. Teorema di esistenza e unicità della soluzione del problema di Cauchy associato. Dimensione dello spazio delle soluzioni. Determinazione di una base (caso coefficienti costanti) per un sistema nxn nel caso diagonalizzabile (reale e complesso), e per un sistema 2×2 nel caso non diagonalizzabile.

Equazioni differenziali omogenee del primo ordine 2×2

 

\(\mathbf{{v}’}=\mathbf{Av}\)

\(\left\{ \begin{align}
& {x}’={{a}_{11}}x+{{a}_{12}}y \\
& {y}’={{a}_{21}}x+{{a}_{22}}y \\
\end{align} \right.\)

1.  Autovalori reali e distinti

\(\lambda \) di cui un autovettore associato è \(\mathbf{u}_{\lambda }^{{}}\) e \(\mu \) di cui un autovettore associato è \(\mathbf{u}_{\mu }^{{}}\).
Una base per la soluzione è

\(B=\left( {{e}^{\lambda t}}{{\mathbf{u}}_{\lambda }},\,\,\,{{e}^{\mu t}}{{\mathbf{u}}_{\mu }} \right)\)

Esempio

\(\left\{ \begin{align}  & {x}’=x+2y \\
& {y}’=2x+y \\
\end{align} \right.\)
\(\mathbf{A}=\left[ \begin{matrix}
1 & 2  \\
2 & 1  \\
\end{matrix} \right]\)

Autovalori reali e distinti: \(\lambda =3\) con possibile autovettore \({{\mathbf{u}}_{\lambda }}=\left( 1\,,\,\,1 \right)\) , e \(\mu =-1\) con possibile autovettore \({{\mathbf{u}}_{\lambda }}=\left( -1\,,\,\,1 \right)\).

Soluzione generale:

\(\left( \begin{align} & x \\ & y \\ \end{align} \right) \) \(={{c}_{1}}{{e}^{3t}}\)\(\left( \begin{align} & 1 \\  & 1 \\ \end{align} \right)\)\(+{{c}_{2}}{{e}^{-t}}\left( \begin{align}  & 1 \\  & -1 \\ \end{align} \right)\)

\(\left\{ \begin{align} & x={{c}_{1}}{{e}^{3t}}+{{c}_{2}}{{e}^{-t}} \\ & y={{c}_{1}}{{e}^{3t}}-{{c}_{2}}{{e}^{-t}} \\ \end{align} \right.\,\,\,\,\)

2. Autovalori complessi e coniugati

\(\lambda =a\pm ib\) , dove \(\mathbf{u}+i\mathbf{v}\) è un autovettore associato a \(a+ib\) .

Una base per la soluzione è  \(B={{e}^{at}}\left( \cos \left( bt \right)\mathbf{u}-\sin \left( bt \right)\mathbf{v},\,\,\sin \left( bt \right)\mathbf{u}+\cos \left( bt \right)\mathbf{v}\, \right)\)

Esempio

\(\left\{ \begin{align}
& {x}’=2x+2y \\
& {y}’=-x+4y \\
\end{align} \right.\)

\(\mathbf{A}=\left[ \begin{matrix} 2 & 2  \\  -1 & 4  \\\end{matrix} \right]\)
Autovalori reali e distinti: \({{\lambda }_{1}}=3+i\) con possibile autovettore \({{\mathbf{u}}_{{{\lambda }_{1}}}}=\)\(\left( \begin{align} & 1\,-i \\  & \,\,\,1\\ \end{align}\right)=\)\(\left( \begin{align}  & 1 \\  & 1 \\ \end{align} \right)+i\)\(\left(\begin{align}  & -1 \\  & \,\,0 \\ \end{align} \right)\) , e \({{\lambda }_{1}}=3-i\) con possibile autovettore \({{\mathbf{u}}_{\lambda }}=\left(\begin{align}  & 1\,+i \\  & \,\,\,1 \\ \end{align} \right)\).
Soluzione generale:

\(\left( \begin{align} & x \\  & y \\ \end{align} \right)={{c}_{1}}{{e}^{3t}}\)[\(\cos t\)\(\left( \begin{align}  & 1 \\  & 1 \\  \end{align} \right)\)\(-\sin t\)\(\left( \begin{align} & -1 \\  & \,\,0 \\ \end{align} \right)\)]\(+{{c}_{2}}{{e}^{3t}}\)\(\sin t\left(\begin{align}  & 1 \\  & 1 \\ \end{align} \right)\)\(+\cos t\)\(\left( \begin{align}  & -1\\  & \,\,0 \\ \end{align} \right)\)

\(\left\{ \begin{align}
& x={{e}^{3t}}\left[ {{c}_{1}}\left( \cos t+\sin t \right)+{{c}_{2}}\left( \sin t-\cos t \right) \right] \\
& y={{e}^{3t}}\left[ {{c}_{1}}\cos t+{{c}_{2}}\sin t \right] \\
\end{align} \right.\,\,\,\,\)

3. Autovalore reali e coincidenti (caso non diagonalizzabile)

Un autovettore \(\mathbf{u}\) associato all’autovettore \(\lambda \).
Per determinare una base per la soluzione bisogna cercare un autovettore generalizzato \(\mathbf{v}\), che si ottiene individuando una soluzione del sistema \(\left( \mathbf{A}-\lambda \mathbf{I} \right)\mathbf{v}=\mathbf{u}\).

Una base per la soluzione è  \(B={{e}^{\lambda t}}\left( \mathbf{u},\,\,\,t\,\mathbf{u}+\mathbf{v} \right)\)

Esempio

\(\left\{ \begin{align}
& {x}’=-x+4y \\
& {y}’=-x+3y \\
\end{align} \right.\)

\(\mathbf{A}=\left[ \begin{matrix}
-1 & 4  \\
-1 & 3  \\
\end{matrix} \right]\)

Autovalori reali e coincidenti: \(\lambda =1\) , autovettore associato: \(\mathbf{u}=\left( \begin{align}& 2\, \\  & 1 \\
\end{align} \right)\). La molteplicità geometrica è 1 mentre la molteplicità algebrica è 1. Si tratta di una matrice non diagonalizzabile.

Cerco l’autovettore generalizzato \(\mathbf{v}\)  risolvendo il sistema \(\left(\mathbf{A}-\mathbf{I} \right)\mathbf{v}=\mathbf{u}\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\)\(\left\{ \begin{align}  &-2x+4y=2\\  & -x+2y=1 \\ \end{align} \right.\,\,\,\Rightarrow \,\,x=2y-1\)\(\,\,\,\Rightarrow \,\,\mathbf{v}=\left( \begin{align}  & 2t-1 \\  & \,\,\,t \\ \end{align} \right)\).
Posto ad esempio \(t=0\) si ha \(\,\mathbf{v}=\left( \begin{align}
& -1 \\
& \,\,\,0 \\
\end{align} \right)\)
\(\left( \begin{align}& x \\  & y \\ \end{align} \right)\)\(={{e}^{t}}\) \([ {{c}_{1}}\)\(\left(\begin{align}& 2 \\ & 1 \\ \end{align} \right)\)\(+{{c}_{2}}\)\(\left(\begin{align} & 2t-1 \\  & t \\ \end{align} \right) ] \)

\(\left\{ \begin{align}
& x={{e}^{t}}\left( 2{{c}_{1}}+2t{{c}_{2}}-{{c}_{2}} \right) \\
& y={{e}^{t}}\left( {{c}_{1}}+t{{c}_{2}} \right) \\
\end{align} \right.\,\,\,\,\)

Osservazione sugli autovalori di una matrice 2×2.

\(\mathbf{A}=\left( \begin{matrix}a & b  \\c & d  \\ \end{matrix} \right)\)

\(\left( \mathbf{A}-\lambda \mathbf{I} \right)\mathbf{v}=\mathbf{0}\)

\(\left\{ \begin{align} & ax-\lambda x+by=0 \\ & cx+dy-\lambda y=0 \\ \end{align} \right.\)

Pongo \(y=m\,x\) e \(x\ne 0\)

\(\left\{ \begin{align}
& ax-\lambda x+bmx=0 \\
& cx+dmx-\lambda mx=0 \\
\end{align} \right.\)

\(\left\{ \begin{align}& a-\lambda +bm=0 \\& c+dm-\lambda m=0 \\
\end{align} \right.\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\)\(\left\{ \begin{align}& \lambda =a+bm\\& c+dm-\lambda m=0 \\\end{align} \right.\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\)\(c+dm-\left( a+bm \right)m=0\,\,\Rightarrow \,\,\)\(-b{{m}^{2}}+\left( d-a \right)m+c=0\)

Da cui si ottiene che \[m=\frac{a-d\pm \sqrt{{{\left( a-d \right)}^{2}}+4bc}}{-2b}=\frac{d-a\pm \sqrt{{{\left( a-d \right)}^{2}}+4bc}}{2b}\]  e che \[\lambda =a+b\frac{d-a\pm \sqrt{{{\left( a-d \right)}^{2}}+4bc}}{2b}=\frac{a+d\pm \sqrt{{{\left( a-d \right)}^{2}}+4bc}}{2}\]

La soluzione del sistema fornisce coppie di autovalori e coefficienti angolari che stanno a rappresentare l’autospazi ad essi associati. Gli autovalori saranno \(\mathbf{v}=\left( x,mx \right)\)

Autovalori reali e coincidenti si hanno se \[{{\left( a-d \right)}^{2}}+4bc=0\]. In tal caso risultano coincidenti anche i relativi autospazi definiti dalla stessa retta \(y=mx\) di coefficiente angolare \[m=\frac{a-d}{2b}\]. La molteplicità geometrica per questi autovalori (unitaria) è diversa da quella algebrica e quindi la matrice risulta in nessun caso diagonalizzabile. Bisogna escludere il caso \(a=d\) e \(b=c=0\) , perché in tal caso anche se gli autovalori risultano reali e coincidenti, la matrice è già una matrice diagonalizzabile, quindi una banale diagonalizzazione si ottiene utilizzando come matrice di cambio di base la matrice identica\(\mathbf{D}=\mathbf{A}=\mathbf{IA}{{\mathbf{I}}^{-1}}\) .

Autovalori reali e distinti si hanno se \[{{\left( a-d \right)}^{2}}+4bc>0\].
Autovalori complessi e coniugati si hanno se \[{{\left( a-d \right)}^{2}}+4bc<0\].

Esempi di matrici 2×2 non diagonalizzabili

Ponendo ad esempio \(a=1,d=-1\,\,\,\Rightarrow \,\,\,{{\left( a-d \right)}^{2}}+4bc=4+4bc=0\,\,\,\)posso porre ad esempio \(b=-c=1\).
\(\mathbf{A}=\left( \begin{matrix}1 & 1  \\-1 & -1  \\\end{matrix} \right)\)
\(\lambda =\frac{a+d}{2}=0\]
\(m=\frac{d-a}{2b}\,\,\Rightarrow m=-1\,\,\,\Rightarrow \,\,posto\,\,x=1\,\,\,\Rightarrow \,\,\mathbf{v}=\left( -1,1 \right)\)

Ponendo ad esempio \(a=2,d=1\,\,\,\Rightarrow \,\,\,{{\left( a-d \right)}^{2}}+4bc=1+4bc=0\,\,\,\)\(b=1\,,\,\,c=-\frac{1}{4}\) .
\(\mathbf{A}=\left( \begin{matrix}2 & 1  \\-\frac{1}{4} & 1  \\ \end{matrix} \right)\)

\(\lambda =\frac{a+d}{2}=\frac{3}{2}\)

\(m=\frac{d-a}{2b}\,\,\Rightarrow m=-\frac{1}{2}\,\,\,\Rightarrow \,\,posto\,\,x=-2\,\,\,\Rightarrow \,\,\mathbf{v}=\left( -2,1 \right)\)

Equazioni differenziali omogenee del primo ordine nxn

\(\mathbf{{v}’}=\mathbf{Av}\)

\(\left\{ \begin{align}& {{x}_{1}}^{\prime }={{a}_{11}}x+…+{{a}_{1n}}y \\& … \\&{{x}_{n}}^{\prime }={{a}_{n1}}x+…+{{a}_{nn}}y \\
\end{align} \right.\)

1. Autovalori reali con molteplicità unitaria: \({{\lambda }_{i}}\) di cui un autovettore associato è \(\mathbf{u}_{{{\lambda }_{i}}}^{{}}\)
Aggiungere nella base della soluzione un vettore del tipo \[{{\mathbf{x}}_{i}}={{e}^{{{\lambda }_{i}}t}}{{\mathbf{u}}_{{{\lambda }_{i}}}}\]

2. Autovalori complessi e coniugati con molteplicità unitaria: \(\lambda =a\pm ib\) , dove \(\mathbf{u}+i\mathbf{v}\) è un autovettore associato a \(a+ib\).
Aggiungere alla base della soluzione un vettore del tipo \[{{\mathbf{x}}_{i}}={{e}^{{{\lambda }_{i}}t}}{{\mathbf{u}}_{{{\lambda }_{i}}}}\]

Professore di teoria dei segnali e analisi matematica


Professore Casparriello Marco

Esperto in didattica di Analisi Matematica e Teoria dei Segnali