ESERCIZI SU INSIEMI REALI
In questo video svolgo due esercizi relativi agli insiemi reali. In particolare dati due esempi di insiemi, mostro come trovare i relativi insiemi dei punti di accumulazione, punti isolati, punti di frontiera, estremi superiori ed inferiori, limitatezza inferiore e superiore, massimo e minimo (se esistono) e dire se gli insiemi sono aperti o chiusi.
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alcune regole che É bene ricordare
- i punti di accumulazione sono tutti quei punti in cui l’insieme diventa denso, cioè se costruisco un intorno del punto, comunque piccolo lo prendo, vedo sempre un insieme di infiniti punti.
- un insieme non sempre ammette massimo e minimo, ma quando essi esistono coincidono con gli estremi superiore ed inferiore rispettivamente.
- il massimo di un insieme esiste quando tra tutti gli elementi dell’insieme è possibile individuare un elemento più grande di tutti.
- i punti isolati non sono punti di accumulazione, perchè esiste un intervallo finito che li separa dagli altri elementi dell’insieme.
- i punti interni si trovano soltanto all’inerno degli intervalli.
dato un insieme reale:
- si dice aperto, quando l’insieme è fatto di soli punti interni, quindi un insieme è aperto solo se è composto da soli intervalli aperti.
- si dice chiuso, quando contiene tutti i punti di accumulazione.
- non può essere sia aperto che chiuso.
- può essere nè aperto, nè chiuso (è molto probabile che succede).
- la chiusura (aderenza) di un insieme si ottiene aggiungendo all’insieme ciò che manca per essere chiuso, ovvero i punti di accumulazione esterni all’insieme.
