In questa lezione parliamo di come si calcola un determinante nel modo più veloce possibile, facendo pochi calcoli. Segui la lezione fino in fondo per capire come applicare in maniera efficace le varie tecniche di calcolo.
La lezione è divisa in varie parti.
Nella parte iniziale faccio un accenno alla teoria sulle definizioni di determinante e il collegamento con le varie regole per il calcolo, poi entro nel vivo e tratto ciascuna tecnica con degli esempi opportunamente scelti.
- Determinante di una matrice nel caso 2×2.
- Determinante di una matrice nel caso 3×3 e regola di Sarrus.
- Teorema di Laplace: tecnica ricorsiva per calcolare un determinante di una matrice di ordine qualunque.
- Determinante di una matrice triangolare.
- Algoritmo di Gauss, che permette di combinare opportunamente le colonne/righe senza modificarne il determinante. Alla fine dell’algoritmo ci si trova con una matrice triangolare, in cui il determinante può essere calcolato molto semplicemente.
Se ci si trova di fronte a una matrice di ordine superiore al terzo (ad esempio una 4×4 o addirittura una 5×5) la tecnica migliore è combinare opportunamente l’algoritmo di Gauss con la regola di Laplace. Guarda il video fino in fondo per capire come fare.
Note sulla lezione
La lezione si concentra molto sull’aspetto pratico del calcolo. Per quanto concerne i dettagli relativi a come vanno interpretate le definizioni, le varie dimostrazioni che collegano le varie regole e teoremi, si rimanda ad altre videolezioni.
Un ruolo fondamentale riveste il teorema di esistenza e unicità, legato alla definizione assiomatica, dal quale si deduce che esiste ed è unica la funzione determinante ed ha un espressione algebrica che è valida per un determinante di qualunque ordine. Una persona potrebbe chiedersi perchè esiste una definizione generale per il determinante, ma non si applica e si preferisce utilizzare delle regole. La risposta è molto semplice ed è legata alla complessità della formula che aumenta come n!, il che comporterebbe una mole di calcoli eccessiva, specie durante un esame di algebra in cui il tempo a disposizione è limitato.