algoritmo di gauss – soluzione di sistemi lineari
In questa videolezione vediamo come applicare l’algoritmo di Gauss per risolvere sistemi lineari
esercizio
Risolvere il seguente sistema lineare:
\( \left\{\begin{align}& x+y+2z+3t=1 & 3x-y-z-2t=-4 & 2x+3y-z-t=-6 & x+2y+3z-t=-4 \end{align}\right. \)
Svolgimento
Svolgimento
In questi passaggi l’algoritmo di Gauss per ottenere una matrice triangolare superiore combinando e scambiando opportunamente le righe della matrice. Guarda il video per i dettagli dello svolgimento. Ricordo che la rappresentazione matriciale del sistema ha il semplice scopo di velocizzare le scritture. I passaggi che portano alla risoluzione del sistema prendono il nome di mosse di Gauss.
\(\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 2 & 3 & 1 3 & -1 & -1 & -2 & -4 2 & 3 & -1 & -1 & -6 1 & 2 & 3 & -1 & -4 \end{matrix} \right]\) \(\left[\begin{matrix} 1 & 1 & 2 & 3 & 1 0 & -4 & -7 & -11 & -7 0 & 1 & -5 & -7 & -8 0 & 1 & 1 & -4 & -5 \end{matrix} \right]\) \(\left[ \begin{matrix}1 & 1 & 2 & 3 & 1 0 & 1 & 1 & -4 & -5 0 & 1 & -5 & -7 & -8 0 & -4 & -7 & -11 & -7 \end{matrix} \right]\)
\(\left[ \begin{matrix}1 & 1 & 2 & 3 & 1 0 & 1 & 1 & -4 & -5 0 & 0 & -6 & -3 & -3 0 & 0 & -3 & -27 & -27 \end{matrix} \right]\) \(\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 2 & 3 & 1 0 & 1 & 1 & -4 & -5 0 & 0 & -3 & -27 & -27 0 & 0 & -6 & -3 & -3 \end{matrix} \right]\) \(\left[ \begin{matrix}1 & 1 & 2 & 3 & 1 0 & 1 & 1 & -4 & -5 0 & 0 & -3 & -27 & -27 0 & 0 & 0 & 51 & 51 \end{matrix} \right]\)
A questo punto riscriviamo sotto forma di sistema e risolviamolo partendo dall’ultima equazione e ritroso fino alla prima.
\(\left\{ \begin{align} & x+y+2z+3t=1 & y+z-4t=-5 & -3z-27t=-27 & 51t=51 \end{align} \right.\) \(\to \) \(\left\{ \begin{align}& x=-1 & y=-1 & z=0 & t=1 \end{align} \right.\)
