TEOREMA DI ESISTENZA DELL’ESTREMO SUPERIORE
Il teorema di esistenza dell’lezione completa su estremi e estremanti di insiemi reali afferma che:
Se un insieme reale è superiormente limitato allora l’estremo superiore esiste ed è finito.
Ovviamente il teorema vale anche per l’estremo inferiore. Guarda il video per vedere come si dimostra. Ti consiglio di munirti prima di carta e penna, così sarai più concentrato e non perderai nemmeno un passaggio!
Dimostrazione.
Se un insieme (Asubseteq mathbb{R}) è superiormente limitato allora ammette almeno un maggiorante cioè (exists xin mathbb{R},,,|,,,xge a,forall ain A) . A questo punto costruiamo l’insieme dei maggioranti di (A) che sarebbe (B=left{ xin mathbb{R}|,xge a,forall ain A right}). Per come è stato costruito l’insieme (B) vale la proprietà che (xge a,,forall xin B,,forall ain A). Per l’assioma di completezza esiste un elemento separatore (cin mathbb{R}) | (ale cle x) (forall xin B,,forall ain A) Poiché (cge a,,forall ain A) allora possiamo dire che si tratta di un maggiorante e quindi(cin B). Allo stesso tempo, siccome (cle x,,forall xin B)allora è il valore minimo dell’insieme (B). In altre parole (c) è un maggiorante ed il più piccolo tra i maggioranti, quindi è proprio l’estremo superiore dell’insieme (A) ovvero (c=sup A) . L’elemento separatore tra un insieme limitato e l’insieme dei suoi maggioranti coincide proprio con l’estremo superiore.
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