Diagonalizzazione in campo complesso

DIAGONALIZZAZIONE IN CAMPO COMPLESSO

Diagonalizzare una matrice equivale a trovare una soluzione al seguente problema \(\mathbf{SA}{{\mathbf{S}}^{-1}}=\mathbf{\Lambda }\) , dove \(\mathbf{S}\) è una matrice di cambiamento di base e \(\mathbf{\Lambda }\) è una matrice diagonale.

 UNA MATRICE CHE AMMETTE AUTOVALORI COMPLESSI NON È DIAGONALIZZABILE IN R. AMMETTE DIAGONALIZZAZIONE IN CAMPO COMPLESSO SE LE MOLTEPLICITÀ ALGEBRICHE COINCIDONO CON QUELLE GEOMETRICHE. IL PROBLEMA AGLI AUTOVALORI VA RISOLTO IN CAMPO COMPLESSO.

COME È FATTA LA MATRICE DIAGONALE

La matrice \(\mathbf{\Lambda }=\left( \begin{matrix}   {{\lambda }_{1}} & 0  \\   0 & {{\lambda }_{2}}  \\\end{matrix} \right)\)   è una matrice diagonale avente come elementi sulla diagonale principale gli autovalori della matrice  \(\mathbf{A}\) .

COME SONO FATTE LE MATRICI DI CAMBIAMENTO DI BASE

Detti \({{\mathbf{v}}_{1}}\) e \({{\mathbf{v}}_{2}}\) gli autovettori associati rispettivamente agli autovalori \({{\lambda }_{1}}\) e \({{\lambda }_{2}}\).  Siano \({{\mathbf{\overset{\scriptscriptstyle\frown}{v}}}_{1}}=\frac{{{\mathbf{v}}_{1}}}{\left\| {{\mathbf{v}}_{1}} \right\|}\) e \({{\mathbf{\overset{\scriptscriptstyle\frown}{v}}}_{2}}=\frac{{{\mathbf{v}}_{2}}}{\left\| {{\mathbf{v}}_{2}} \right\|}\) versori ad essi associati.

La matrice \({{\mathbf{S}}^{-1}}\) può essere costruita ponendo come colonne i versori \({{\mathbf{\overset{\scriptscriptstyle\frown}{v}}}_{1}}\) e \({{\mathbf{\overset{\scriptscriptstyle\frown}{v}}}_{2}}\).

Possiamo scrivere che \({{\mathbf{S}}^{-1}}=\left[ {{{\mathbf{\overset{\scriptscriptstyle\frown}{v}}}}_{1}}\,\,{{{\mathbf{\overset{\scriptscriptstyle\frown}{v}}}}_{2}} \right]\) e la matrice \(\mathbf{S}\) è la sua inversa, e poiché quest’ultima è una matrice unitaria e composta da autovettori allora vale la seguente relazione \(\mathbf{S}={{\left( {{\mathbf{S}}^{-1}} \right)}^{*}}\) . 

L’operatore \({{\left( {} \right)}^{*}}\) , rappresenta l’operatore Hermetiano che restituisce la matrice trasposta e coniugata. Questo vale per la diagonalizzazione in campo complesso, in campo reale è sufficiente la trasposta.

ESEMPIO

Andiamo a fare la diagonalizzione in campo complesso della matrice \(\mathbf{A}=\left( \begin{matrix}   0 & 1  \\   i & 0  \\\end{matrix} \right)\).

AUTOVALORI E AUTOSPAZI ASSOCIATI

Un autovettore associato all’autovalore \( \lambda_{1}=-\frac{1+i}{\sqrt{2}} \) è:

\( \mathbf{v}_{1}=\begin{pmatrix}-\dfrac{1-i}{\sqrt{2}}\\1\end{pmatrix} \).

Un autovettore associato all’autovalore \( \lambda_{2}=\frac{1+i}{\sqrt{2}} \) è:

\( \mathbf{v}_{2}=\begin{pmatrix}\dfrac{1-i}{\sqrt{2}}\\1\end{pmatrix} \).

Normalizzo i due autovettori, ricordando che la norma dei vettori complessi è:

\( \lVert \mathbf{v} \rVert=\sqrt{|v_{1}|^{2}+|v_{2}|^{2}+\dots+|v_{n}|^{2}} \)

con \( \mathbf{v}=\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots\\v_{n}\end{pmatrix} \).

Si ha quindi \( \lVert \mathbf{v}_{1} \rVert=\lVert \mathbf{v}_{2} \rVert=\sqrt{2} \).

AUTOVETTORI NORMALIZZATI

Un autovettore associato all’autovalore \( \lambda_{1}=-\frac{1+i}{\sqrt{2}} \) è dato da \( \mathbf{v}_{1}=\begin{pmatrix}-\frac{1-i}{\sqrt{2}}\\1\end{pmatrix} \).

Un autovettore associato all’autovalore \( \lambda_{2}=\frac{1+i}{\sqrt{2}} \) è dato da \( \mathbf{v}_{2}=\begin{pmatrix}\frac{1-i}{\sqrt{2}}\\1\end{pmatrix} \).

Normalizzo i due autovettori, ricordando che la norma dei vettori complessi è definita così: \( \lVert \mathbf{v} \rVert=\sqrt{|v_{1}|^{2}+|v_{2}|^{2}+\dots+|v_{n}|^{2}} \) con \( \mathbf{v}=\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots\\v_{n}\end{pmatrix} \).

Si ha quindi \( \lVert \mathbf{v}_{1} \rVert=\lVert \mathbf{v}_{2} \rVert=\sqrt{2} \).

DIAGONALIZZAZIONE IN CAMPO COMPLESSO

Si ha così che la matrice diagonale diventa:

\( \mathbf{\Lambda} = \begin{pmatrix} -\frac{1+i}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & \frac{1+i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \)

e che

\( \mathbf{S}^{-1} = \big[ \hat{\mathbf{v}}_{1}\ \hat{\mathbf{v}}_{2} \big] \)

\( \mathbf{S}^{-1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} -\frac{1-i}{\sqrt{2}} & \frac{1-i}{\sqrt{2}} \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \)

Mentre la sua Hermitiana è:

\( \mathbf{S} = \big( \mathbf{S}^{-1} \big)^{*} \)

\( \mathbf{S} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} -\frac{1+i}{\sqrt{2}} & 1 \\ \frac{1+i}{\sqrt{2}} & 1 \end{pmatrix} \)

Per verificare la correttezza dei passaggi si può provare:

\( \mathbf{S} \mathbf{A} \mathbf{S}^{-1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} -\frac{1+i}{\sqrt{2}} & 1 \\ \frac{1+i}{\sqrt{2}} & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ i & 0 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} -\frac{1-i}{\sqrt{2}} & \frac{1-i}{\sqrt{2}} \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \)

\( = \begin{pmatrix} -\frac{1+i}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & \frac{1+i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \)

\( = \mathbf{\Lambda} \)