RIPETIZIONI ANALISI MATEMATICA E FISICA
Sei alle prese con un esame di Analisi Matematica, hai provato di tutto ma continui a non superare l’esame 😱? Sei nel posto giusto 😃!
Finalmente hai trovato l’insegnante che fa per te e voglio usare la matematica per dimostrartelo🤓
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Ecco appunto, per convincerti che sono l’insegnante per le tue ripetizioni analisi matematica, adatto al tuo caso, ti propongo una serie numerica:
$\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{n}{{{4}^{n}}}}$.
Quello che ti propongo è di discuterla, ma prima di farlo ti do una soluzione, che senza dubbio è una soluzione brillante e forse la conosci già😒:
$\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{n}{{{4}^{n}}}}=\frac{1}{4}+\frac{2}{{{4}^{2}}}+\frac{3}{{{4}^{3}}}+\frac{4}{{{5}^{3}}}+…$ $=\frac{1}{4}+\frac{1+1}{{{4}^{2}}}+\frac{1+2}{{{4}^{3}}}+\frac{1+3}{{{5}^{3}}}+…$
$=\frac{1}{4}+\frac{1}{{{4}^{2}}}+\frac{1}{{{4}^{3}}}+\frac{1}{{{5}^{3}}}+…+\frac{1}{{{4}^{2}}}+\frac{2}{{{4}^{3}}}+\frac{3}{{{5}^{3}}}$ $=\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{1}{{{4}^{n}}}}+\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{n}{{{4}^{n+1}}}}$ $=\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{1}{{{4}^{n}}}}+\frac{1}{4}\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{n}{{{4}^{n}}}}$
Se pongo $A=\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{n}{{{4}^{n}}}}$ ottengo l’equazione
$A=\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{1}{{{4}^{n}}}}+\frac{1}{4}A$
Ora faccio dei passaggi algebrici per cercare di isolare una serie geometrica
$\frac{3}{4}A=\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{1}{{{4}^{n}}}}=\frac{1}{{{4}^{0}}}+\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{1}{{{4}^{n}}}}-\frac{1}{{{4}^{0}}}=\sum\limits_{n=0}^{+\infty }{{{\left( \frac{1}{4} \right)}^{n}}}-1$
A questo punto utilizzo una serie notevole, che è quella geometrica $\sum\limits_{n=0}^{+\infty }{{{q}^{n}}}=\frac{1}{1-q}$
$\frac{3}{4}A=\frac{1}{1-\frac{1}{4}}-1=\frac{1}{3}$
E quindi $A=\frac{4}{3}\cdot \frac{1}{3}$
E possiamo finalmente concludere che:
$\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{n}{{{4}^{n}}}}=\frac{4}{9}$
Siamo arrivati alla soluzione e non sarebbe certo stato facile arrivarci😤🤓! Ma la domanda è: questa soluzione è accettabile per un professore universitario che corregge il tuo compito🤔?
La risposta è: dipende da chi lo corregge! Io nelle mie lezioni posso insegnarti tanti trucchi come questo💪, per risolvere esercizi, ma talvolta arrivare ad una soluzione con intuito e abilità di ragionamento logico non è sufficiente. Infatti, noi in questi passaggi senza volerlo abbiamo dato per scontato tante cose, e soprattutto aspetti teorici, che per alcuni professori hanno la loro importanza!
Quando il professore ti chiede di giustificare i passaggi è perché questi non hanno senso se non provi a spiegare perché sono matematicamente validi. Non posso usare un teorema o un’espressione matematica se prima non verifico che le ipotesi che li rendono veritieri, sono rispettate.
Ad esempio, quando ho usato la serie geometrica, dovevo specificare che quella formula$\sum\limits_{n=0}^{+\infty }{{{q}^{n}}}=\frac{1}{1-q}$ vale solo per $\left| q \right|<1$ e non per qualsiasi valore di $q$. Se infatti questa condizione non era verificata allora la serie non sarebbe stata convergente e questa formula non avrebbe avuto senso😣.
Un altro aspetto che avrei dovuto discutere, ancora prima di provare a cercare il risultato della serie era la questione della convergenza. Avrei dovuto chiedermi🤓 se si trattasse o meno di una serie convergente, perché se non lo era, non avrebbe avuto senso nemmeno provare a calcolarne il risultato numerico!
Per affrontare questa questione posso semplicemente notare che si tratta di una serie numerica, e quindi posso appellarmi ad uno dei teoremi sulla convergenza delle serie numeriche.
Per prima cosa, noto che $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{n}{{{4}^{n}}}=0$ (è una forma indeterminata $\frac{\infty }{\infty }$ , ma il denominatore “vince” rispetto al numeratore, trattandosi di un esponenziale a confronto con una potenza), ma questa osservazione non mi basta per trarre conclusione sulla convergenza della serie, perché questa è solo una condizione necessaria, e non sufficiente per concludere che la serie è convergente.
Serve una condizione sufficiente, come ad esempio il criterio del rapporto: se dimostro che $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left| \frac{{{a}_{n+1}}}{{{a}_{n}}} \right|=l$ e che $l<1$ allora sicuramente si tratta di una serie convergente. Verifichiamolo: $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{n+1}{n}\cdot \frac{{{2}^{n}}}{{{2}^{n+1}}}=\frac{1}{2}<1$.
Dunque, si tratta di una serie convergente 😀!
A questo punto tutte le questioni teoriche sono state affrontate e anche il professore più pignolo non avrebbe nulla che gli farebbe storcere il naso leggendo il mio svolgimento 🙃😍💪🤓!
RIPETIZIONI ANALISI MATEMATICA AVANZATA
A questo punto ti propongo una nuova soluzione e per farlo proviamo ad uscire dai concetti base dell’analisi matematica (quelli che si studiano per intenderci in “analisi matematica 1” o “analisi matematica A”) e spingiamoci verso concetti teoricamente più avanzati, come quelli che si introducono spesso in una materia che nelle varie facoltà di ingegneria prende il nome di “analisi matematica 2”, o “analisi matematica B”.
Chiamiamo in causa le successioni e serie di funzioni:
Partiamo dalla successione di funzione ${{f}_{n}}\left( x \right)={{4}^{-n\cdot x}}$ da cui ricaviamo la serie di funzioni $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{{{f}_{n}}\left( x \right)}=\sum\limits_{n=0}^{+\infty }{{{4}^{-nx}}}-1=\frac{1}{1-{{4}^{-x}}}-1$ .
A questo punto deriviamo entrambi i membri dell’equazione e seguiamo una serie di passaggi algebrici.
$\frac{\partial }{\partial x}\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{{{f}_{n}}\left( x \right)}=\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{\partial }{\partial x}{{4}^{-nx}}}=-\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{n\ln 4\cdot {{4}^{-nx}}}=\frac{\partial }{\partial x}\left( \frac{1}{1-{{4}^{-x}}}-1 \right)$
$-\ln 4\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{n\cdot {{4}^{-nx}}}=-\frac{\ln 4\cdot {{4}^{-x}}}{{{\left( 1-{{4}^{-x}} \right)}^{2}}}$
$\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{n\cdot {{4}^{-nx}}}=\frac{{{4}^{-x}}}{{{\left( 1-{{4}^{-x}} \right)}^{2}}}$
A questo punto basta porre $x=1$, $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{n\cdot {{4}^{-n}}}=\frac{{{4}^{-1}}}{{{\left( 1-{{4}^{-1}} \right)}^{2}}}=\frac{4}{9}$ e voilà siamo giunti alla soluzione 🤓!
Anche in questo caso, molto abilmente, siamo giunti alla stessa soluzione!
Ma ci siamo dimenticati di discutere qualche aspetto teorico🤔? Se il professore di matematica che corregge il compito si accontenta del fatto che lo studente giunga alla soluzione, allora senza dubbio questo esercizio passa con punteggio massimo, perché il risultato è corretto e non ci sono errori di calcolo!
Ma se invece si trattasse di un professore pignolo, allora si aspetterebbe da te che ogni passaggio venisse argomentato.
Allora, passiamo alle questioni teoriche e vediamo cosa ho omesso nella soluzione. La prima questione che non ho affrontato è la convergenza, e trattandosi di serie di funzioni e non di semplici serie numeriche, mi chiedo se posso accontentarmi della convergenza puntuale, o mi serve una condizione più forte, come ad esempio la convergenza uniforme🤔.
Siccome devo derivare entrambi i membri, allora significa che sto facendo appello devo al teorema del passaggio del segno della derivata sotto il segno di sommatoria, e quindi non è sufficiente la convergenza puntuale, devo dimostrare che esiste un intervallo che contiene $x=1$ al suo interno (non al bordo🙄!) in cui la serie converge uniformemente, altrimenti lo svolgimento che ho proposto non sarebbe valido🤒.
La serie in questione è $\sum\limits_{n=0}^{+\infty }{{{4}^{-nx}}}$ . La successione ${{4}^{-nx}}$ è monotona decrescente per ogni $x\in \mathbb{R}$ e per ogni $n\in \mathbb{N}$, quindi ad esempio se $x\ge \frac{1}{2}$ allora la successione ammette massimo e quindi estremo superiore proprio in $x=\frac{1}{2}$ e di conseguenza se prendo l’intervallo $I=\left[ \frac{1}{2},+\infty \right)$ posso scrivere ${{M}_{n}}=\underset{x\in I}{\mathop{\sup }}\,{{4}^{-nx}}=\frac{1}{{{2}^{n}}}$, e poiché $\sum\limits_{n=0}^{+\infty }{{{M}_{n}}}$ è convergente (serie geometrica di ragione minore di uno in modulo) allora la serie converge addirittura totalmente in $I$ e quindi sicuramente converge anche uniformemente.
Ora che ho chiarito che la successione converge uniformemente in $I$ e che $x=1$ è un punto che si trova all’interno dell’intervallo, allora la soluzione che ho proposto non è più attaccabile, perché tutti i teoremi che ho usato, rispettano le ipotesi di validità 🙃😍💪🤓.
RIPETIZIONI ANALISI MATEMATICA COMPLESSA 😱😲🤓
Per finire voglio proporti una soluzione ancora più avanzata, scomodando l’analisi complessa e l’analisi funzionale: La trasformata zeta, è una trasformata che si applica nell’ambito dell’analisi complessa e in ambito ingegneristico per l’analisi di segnali numerici nella teoria dei segnali. Essa era già nota concettualmente a Laplace ed esiste un legame dimostrabile con la trasformata di Laplace. In ogni caso questo tipo di trasformata ha attratto l’interesse da un punto di vista matematico, e in particolare nella matematica discreta a partire dal 1947, quando alla Columbia University di New York, fu proposta come metodo di risoluzione di equazioni alle differenze lineari a coefficienti costanti.
In analisi funzionale, la trasformata zeta di una successione è definita come:
$X\left( z \right)=\sum\limits_{n=-\infty }^{+\infty }{{{x}_{n}}\cdot {{z}^{-n}}} \text{ dove } z\in \mathbb{C}$
In particolare, la trasformata zeta della successione:
$ y_n = \begin{cases} n, & \text{se } n \geq 0 \\ 0, & \text{se } n < 0 \end{cases} $
rientra tra le trasformate notevoli e vale:
$Y\left( z \right)=\frac{{{z}^{-1}}}{{{\left( 1-{{z}^{-1}} \right)}^{2}}}$
e la sua regione di convergenza è dato dall’insieme di numeri complessi definito da $ROC=\left\{ z\in \mathbb{C}:\left| z \right|>1 \right\}$ . Ma se si osserva che la trasformata $Y\left( z \right)=\sum\limits_{n=-\infty }^{+\infty }{{{y}_{n}}\cdot {{z}^{-n}}}=\sum\limits_{n=0}^{+\infty }{n\cdot {{z}^{-n}}}=\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{n\cdot {{z}^{-n}}}$ e che posto $z=4$ , vettore del piano di Gauss che cade proprio nella regione di convergenza, si ottiene proprio la serie in esame allora:
$Y\left( 4 \right)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{n\cdot {{4}^{-n}}}=\frac{{{4}^{-1}}}{{{\left( 1-{{4}^{-1}} \right)}^{2}}}=\frac{4}{9}$
E cioè, Il risultato della serie numerica non è altro che la trasformata zeta della successione ${{y}_{n}}$
RIPETIZIONI PER LA PREPARAZIONE DI ESAMI UNIVERSITARI
Ripetizioni di Matematica (Analisi, Algebra, Geometria), Fisica, Teoria dei Segnali per la preparazione di esami universitari:
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