RIPETIZIONI UNIVERISTARIE

Sei alle prese con un esame di Analisi Matematica, hai provato diversi insegnanti e continui a non superare l’esame 😱? Sei nel posto giusto 😃!

Finalmente hai trovato l’insegnante che fa per te e voglio usare la matematica per dimostrartelo🤓, ma prima ti lascio il mio contatto, così in caso ne avessi bisogno potrai contattarmi.

Mi chiamo Marco, sono un professore di matematica, ho una lunga esperienza accademica pregressa (laurea completa in ingegneria a pieni voti e ricercatore scientifico) e puoi contattarmi usando WhatsApp oppure via email.

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Ecco appunto, per convincerti che sono l’insegnante adatto al tuo caso, ti propongo una serie numerica:

$\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{n}{{{4}^{n}}}}$.

Quello che ti propongo è di discuterla, ma prima di farlo ti do una soluzione, che senza dubbio è una soluzione brillante e forse la conosci già😒:

$\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{n}{{{4}^{n}}}}=\frac{1}{4}+\frac{2}{{{4}^{2}}}+\frac{3}{{{4}^{3}}}+\frac{4}{{{5}^{3}}}+…$ $=\frac{1}{4}+\frac{1+1}{{{4}^{2}}}+\frac{1+2}{{{4}^{3}}}+\frac{1+3}{{{5}^{3}}}+…$

$=\frac{1}{4}+\frac{1}{{{4}^{2}}}+\frac{1}{{{4}^{3}}}+\frac{1}{{{5}^{3}}}+…+\frac{1}{{{4}^{2}}}+\frac{2}{{{4}^{3}}}+\frac{3}{{{5}^{3}}}$ $=\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{1}{{{4}^{n}}}}+\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{n}{{{4}^{n+1}}}}$$=\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{1}{{{4}^{n}}}}+\frac{1}{4}\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{n}{{{4}^{n}}}}$

Se pongo $A=\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{n}{{{4}^{n}}}}$ ottengo l’equazione

$A=\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{1}{{{4}^{n}}}}+\frac{1}{4}A$

Ora faccio dei passaggi algebrici per cercare di isolare una serie geometrica

$\frac{3}{4}A=\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{1}{{{4}^{n}}}}=\frac{1}{{{4}^{0}}}+\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{1}{{{4}^{n}}}}-\frac{1}{{{4}^{0}}}=\sum\limits_{n=0}^{+\infty }{{{\left( \frac{1}{4} \right)}^{n}}}-1$

A questo punto utilizzo una serie notevole, che è quella geometrica $\sum\limits_{n=0}^{+\infty }{{{q}^{n}}}=\frac{1}{1-q}$

$\frac{3}{4}A=\frac{1}{1-\frac{1}{4}}-1=\frac{1}{3}$

E quindi $A=\frac{4}{3}\cdot \frac{1}{3}\Rightarrow $$\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{n}{{{4}^{n}}}}=\frac{4}{9}$

Siamo arrivati alla soluzione e non sarebbe certo stato facile arrivarci😤🤓! Ma la domanda è: questa soluzione è accettabile per un professore universitario che corregge il tuo compito🤔?

La risposta è: dipende da chi lo corregge! Io nelle mie lezioni posso insegnarti tanti trucchi come questo💪, per risolvere esercizi, ma talvolta arrivare ad una soluzione con intuito e abilità di ragionamento logico non è sufficiente. Infatti, noi in questi passaggi senza volerlo abbiamo dato per scontato tante cose, e soprattutto aspetti teorici, che per alcuni professori hanno la loro importanza!

Quando il professore ti chiede di giustificare i passaggi è perché questi non hanno senso se non provi a spiegare perché sono matematicamente validi. Non posso usare un teorema o un’espressione matematica se prima non verifico che le ipotesi che li rendono veritieri, sono rispettate.

Ad esempio, quando ho usato la serie geometrica, dovevo specificare che quella formula$\sum\limits_{n=0}^{+\infty }{{{q}^{n}}}=\frac{1}{1-q}$ vale solo per $\left| q \right|<1$ e non per qualsiasi valore di $q$. Se infatti questa condizione non era verificata allora la serie non sarebbe stata convergente e questa formula non avrebbe avuto senso😣.

Un altro aspetto che avrei dovuto discutere, ancora prima di provare a cercare il risultato della serie era la questione della convergenza. Avrei dovuto chiedermi🤓 se si trattasse o meno di una serie convergente, perché se non lo era, non avrebbe avuto senso nemmeno provare a calcolarne il risultato numerico!

Per affrontare questa questione posso semplicemente notare che si tratta di una serie numerica, e quindi posso appellarmi ad uno dei teoremi sulla convergenza delle serie numeriche.

Per prima cosa, noto che $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{n}{{{4}^{n}}}=0$ (è una forma indeterminata $\frac{\infty }{\infty }$ , ma il denominatore “vince” rispetto al numeratore, trattandosi di un esponenziale a confronto con una potenza), ma questa osservazione non mi basta per trarre conclusione sulla convergenza della serie, perché questa è solo una condizione necessaria, e non sufficiente per concludere che la serie è convergente.

Serve una condizione sufficiente, come ad esempio il criterio del rapporto: se dimostro che $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left| \frac{{{a}_{n+1}}}{{{a}_{n}}} \right|=l$ e che $l<1$ allora sicuramente si tratta di una serie convergente. Verifichiamolo: $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{n+1}{n}\cdot \frac{{{2}^{n}}}{{{2}^{n+1}}}=\frac{1}{2}<1$.

Dunque, si tratta di una serie convergente 😀!

A questo punto tutte le questioni teoriche sono state affrontate e anche il professore più pignolo non avrebbe nulla che gli farebbe storcere il naso leggendo il mio svolgimento 🙃☺😍💪🤓!

RIPETIZIONI DI ANALISI MATEMATICA AVANZATA

A questo punto proviamo a risolverla, proviamo ad uscire dai concetti base dell’analisi matematica (quelli che si studiano per intenderci in “analisi matematica 1” o “analisi matematica A”) e spingiamoci verso concetti teoricamente più avanzati, come quelli che si introducono spesso in una materia che nelle varie facoltà di ingegneria prende il nome di “analisi matematica 2”, o “analisi matematica B”.

Chiamiamo in causa le successioni e serie di funzioni:

Partiamo dalla successione di funzione ${{f}_{n}}\left( x \right)={{4}^{-n\cdot x}}$ da cui ricaviamo la serie di funzioni $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{{{f}_{n}}\left( x \right)}=\sum\limits_{n=0}^{+\infty }{{{4}^{-nx}}}-1=\frac{1}{1-{{4}^{-x}}}-1$ .

A questo punto deriviamo entrambi i membri dell’equazione e seguiamo una serie di passaggi algebrici.

$\frac{tial }{tial x}\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{{{f}_{n}}\left( x \right)}=\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{tial }{tial x}{{4}^{-nx}}}=-\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{n\ln 4\cdot {{4}^{-nx}}}=\frac{tial }{tial x}\left( \frac{1}{1-{{4}^{-x}}}-1 \right)$

$-\ln 4\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{n\cdot {{4}^{-nx}}}=-\frac{\ln 4\cdot {{4}^{-x}}}{{{\left( 1-{{4}^{-x}} \right)}^{2}}}$

$\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{n\cdot {{4}^{-nx}}}=\frac{{{4}^{-x}}}{{{\left( 1-{{4}^{-x}} \right)}^{2}}}$

A questo punto basta porre $x=1$, $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{n\cdot {{4}^{-n}}}=\frac{{{4}^{-1}}}{{{\left( 1-{{4}^{-1}} \right)}^{2}}}=\frac{4}{9}$ e voilà siamo giunti alla soluzione 🤓!

Anche in questo caso, molto abilmente, siamo giunti alla stessa soluzione!

Ma ci siamo dimenticati di discutere qualche aspetto teorico🤔? Se il professore di matematica che corregge il compito si accontenta del fatto che lo studente giunga alla soluzione, allora senza dubbio questo esercizio passa con punteggio massimo, perché il risultato è corretto e non ci sono errori di calcolo!

Ma se invece si trattasse di un professore pignolo, allora si aspetterebbe da te che ogni passaggio venisse argomentato.

Allora, passiamo alle questioni teoriche e vediamo cosa ho omesso nella soluzione. La prima questione che non ho affrontato è la convergenza, e trattandosi di serie di funzioni e non di semplici serie numeriche, mi chiedo se posso accontentarmi della convergenza puntuale, o mi serve una condizione più forte, come ad esempio la convergenza uniforme🤔.

Siccome devo derivare entrambi i membri, allora significa che sto facendo appello devo al teorema del passaggio del segno della derivata sotto il segno di sommatoria, e quindi non è sufficiente la convergenza puntuale, devo dimostrare che esiste un intervallo che contiene $x=1$ al suo interno (non al bordo🙄!) in cui la serie converge uniformemente, altrimenti lo svolgimento che ho proposto non sarebbe valido🤒.

La serie in questione è $\sum\limits_{n=0}^{+\infty }{{{4}^{-nx}}}$ . La successione ${{4}^{-nx}}$ è monotona decrescente per ogni $x\in \mathbb{R}$ e per ogni $n\in \mathbb{N}$, quindi ad esempio se $x\ge \frac{1}{2}$ allora la successione ammette massimo e quindi estremo superiore proprio in $x=\frac{1}{2}$ e di conseguenza se prendo l’intervallo $I=\left[ \frac{1}{2},+\infty \right)$ posso scrivere ${{M}_{n}}=\underset{x\in I}{\mathop{\sup }}\,{{4}^{-nx}}=\frac{1}{{{2}^{n}}}$, e poiché $\sum\limits_{n=0}^{+\infty }{{{M}_{n}}}$ è convergente (serie geometrica di ragione minore di uno in modulo) allora la serie converge addirittura totalmente in $I$ e quindi sicuramente converge anche uniformemente.

Ora che ho chiarito che la successione converge uniformemente in $I$ e che $x=1$ è un punto che si trova all’interno dell’intervallo, allora la soluzione che ho proposto non è più attaccabile, perché tutti i teoremi che ho usato, rispettano le ipotesi di validità 🙃☺😍💪🤓.

ANALISI COMPLESSA 😱😲🤓

Per finire voglio proporti una soluzione ancora più avanzata, scomodando l’analisi complessa e l’analisi funzionale: La trasformata zeta, è una trasformata che si applica in ambito dell’analisi complessa e in ambito ingegneristico per l’analisi di segnali numerici nella teoria dei segnali. Essa era già nota concettualmente a Laplace ed esiste un legame dimostrabile con la trasformata di Laplace. In ogni caso questo tipo di trasformata ha attratto l’interesse da un punto di vista matematico, e in particolare nella matematica discreta a partire dal 1947, quando alla Columbia University di New York, fu proposta come metodo di risoluzione di equazioni alle differenze lineari a coefficienti costanti.

In analisi funzionale, la trasformata zeta di una successione è definita come $X\left( z \right)=\sum\limits_{n=-\infty }^{+\infty }{{{x}_{n}}\cdot {{z}^{-n}}}$ dove $z\in \mathbb{C}$. In particolare, la trasformata zeta della successione ${{y}_{n}}=\left\{ \begin{align} & n,\,\,\,n\ge 0 & 0,\,\,\,\,n<0 \end{align} \right.$ rientra tra le trasformate notevoli e vale $Y\left( z \right)=\frac{{{z}^{-1}}}{{{\left( 1-{{z}^{-1}} \right)}^{2}}}$, e la sua regione di convergenza è dato dall’insieme di numeri complessi

Definito da $ROC=\left\{ z\in \mathbb{C}:\left| z \right|>1 \right\}$ . Ma se si osserva che la trasformata $Y\left( z \right)=\sum\limits_{n=-\infty }^{+\infty }{{{y}_{n}}\cdot {{z}^{-n}}}=\sum\limits_{n=0}^{+\infty }{n\cdot {{z}^{-n}}}=\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{n\cdot {{z}^{-n}}}$ e che posto$z=4$ (punto appartenente alla regione di convergenza della trasformata) si ottiene proprio la serie in esame allora $Y\left( 4 \right)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{n\cdot {{4}^{-n}}}=\frac{{{4}^{-1}}}{{{\left( 1-{{4}^{-1}} \right)}^{2}}}=\frac{4}{9}$

E cioè, Il risultato della serie numerica non è altro che la trasformata zeta della successione ${{y}_{n}}$ calcolata per $z=4$ 🙃☺😍💪🤓.

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Successioni di funzioni.
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ALCUNI FORMULARI, DISPENSE ED ESEMPI UTILI PER L’ESAME DI ANALISI MATEMATICA 1

Nei link di seguito potete scaricare alcuni formulari scritti da me e molto utili per l’esame di analisi Matematica 1:

Matematica di base – dspensa inerente l’insieme delle conoscenze di base necessarie per affrontare l’esame di analisi matematica

Formulario su insiemi reali – Topologia sull’asse dei reali

Formulario per Successioni

Formulario sui Numeri Complessi

Formulario su Derivate Fondamentali e Regole di Derivazione

Formulario su Limiti notevoli e sviluppi di Mclaurin (Taylor)

Formulario su Limiti, approssimazioni asintotiche e asintoti di una funzione

Studio di funzioni – analisi matematica 1

Formulario per Integrali definiti ed indefiniti

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Formulario per Serie Numeriche

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Esempio di PROVA D’ESAME SVOLTA – ingegneria dell’autoveicolo UNIMORE

RIPETIZIONI DI ANALISI MATEMATICA

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Di professione sono un ingegnere ma svolgo servizi di tutoraggio, ho lavorato come professore ed ho più di 10 anni di esperienza di insegnamento di Teoria dei Segnali e Analisi Matematica.

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