RIPETIZIONI UNIVERISTARIE
Sei alle prese con un esame di Analisi Matematica, hai provato diversi insegnanti e continui a non superare l’esame 😱? Sei nel posto giusto 😃!
Finalmente hai trovato l’insegnante che fa per te e voglio usare la matematica per dimostrartelo🤓, ma prima ti lascio il mio contatto, così in caso ne avessi bisogno potrai contattarmi.
Mi chiamo Marco, sono un professore di matematica, ho una lunga esperienza accademica pregressa (laurea completa in ingegneria a pieni voti e ricercatore scientifico) e puoi contattarmi usando WhatsApp oppure via email.
Ecco appunto, per convincerti che sono l’insegnante adatto al tuo caso, ti propongo una serie numerica:
$\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{n}{{{4}^{n}}}}$.
Quello che ti propongo è di discuterla, ma prima di farlo ti do una soluzione, che senza dubbio è una soluzione brillante e forse la conosci già😒:
$\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{n}{{{4}^{n}}}}=\frac{1}{4}+\frac{2}{{{4}^{2}}}+\frac{3}{{{4}^{3}}}+\frac{4}{{{5}^{3}}}+…$ $=\frac{1}{4}+\frac{1+1}{{{4}^{2}}}+\frac{1+2}{{{4}^{3}}}+\frac{1+3}{{{5}^{3}}}+…$
$=\frac{1}{4}+\frac{1}{{{4}^{2}}}+\frac{1}{{{4}^{3}}}+\frac{1}{{{5}^{3}}}+…+\frac{1}{{{4}^{2}}}+\frac{2}{{{4}^{3}}}+\frac{3}{{{5}^{3}}}$ $=\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{1}{{{4}^{n}}}}+\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{n}{{{4}^{n+1}}}}$$=\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{1}{{{4}^{n}}}}+\frac{1}{4}\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{n}{{{4}^{n}}}}$
Se pongo $A=\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{n}{{{4}^{n}}}}$ ottengo l’equazione
$A=\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{1}{{{4}^{n}}}}+\frac{1}{4}A$
Ora faccio dei passaggi algebrici per cercare di isolare una serie geometrica
$\frac{3}{4}A=\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{1}{{{4}^{n}}}}=\frac{1}{{{4}^{0}}}+\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{1}{{{4}^{n}}}}-\frac{1}{{{4}^{0}}}=\sum\limits_{n=0}^{+\infty }{{{\left( \frac{1}{4} \right)}^{n}}}-1$
A questo punto utilizzo una serie notevole, che è quella geometrica $\sum\limits_{n=0}^{+\infty }{{{q}^{n}}}=\frac{1}{1-q}$
$\frac{3}{4}A=\frac{1}{1-\frac{1}{4}}-1=\frac{1}{3}$
E quindi $A=\frac{4}{3}\cdot \frac{1}{3}\Rightarrow $$\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{n}{{{4}^{n}}}}=\frac{4}{9}$
Siamo arrivati alla soluzione e non sarebbe certo stato facile arrivarci😤🤓! Ma la domanda è: questa soluzione è accettabile per un professore universitario che corregge il tuo compito🤔?
La risposta è: dipende da chi lo corregge! Io nelle mie lezioni posso insegnarti tanti trucchi come questo💪, per risolvere esercizi, ma talvolta arrivare ad una soluzione con intuito e abilità di ragionamento logico non è sufficiente. Infatti, noi in questi passaggi senza volerlo abbiamo dato per scontato tante cose, e soprattutto aspetti teorici, che per alcuni professori hanno la loro importanza!
Quando il professore ti chiede di giustificare i passaggi è perché questi non hanno senso se non provi a spiegare perché sono matematicamente validi. Non posso usare un teorema o un’espressione matematica se prima non verifico che le ipotesi che li rendono veritieri, sono rispettate.
Ad esempio, quando ho usato la serie geometrica, dovevo specificare che quella formula$\sum\limits_{n=0}^{+\infty }{{{q}^{n}}}=\frac{1}{1-q}$ vale solo per $\left| q \right|<1$ e non per qualsiasi valore di $q$. Se infatti questa condizione non era verificata allora la serie non sarebbe stata convergente e questa formula non avrebbe avuto senso😣.
Un altro aspetto che avrei dovuto discutere, ancora prima di provare a cercare il risultato della serie era la questione della convergenza. Avrei dovuto chiedermi🤓 se si trattasse o meno di una serie convergente, perché se non lo era, non avrebbe avuto senso nemmeno provare a calcolarne il risultato numerico!
Per affrontare questa questione posso semplicemente notare che si tratta di una serie numerica, e quindi posso appellarmi ad uno dei teoremi sulla convergenza delle serie numeriche.
Per prima cosa, noto che $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{n}{{{4}^{n}}}=0$ (è una forma indeterminata $\frac{\infty }{\infty }$ , ma il denominatore “vince” rispetto al numeratore, trattandosi di un esponenziale a confronto con una potenza), ma questa osservazione non mi basta per trarre conclusione sulla convergenza della serie, perché questa è solo una condizione necessaria, e non sufficiente per concludere che la serie è convergente.
Serve una condizione sufficiente, come ad esempio il criterio del rapporto: se dimostro che $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left| \frac{{{a}_{n+1}}}{{{a}_{n}}} \right|=l$ e che $l<1$ allora sicuramente si tratta di una serie convergente. Verifichiamolo: $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{n+1}{n}\cdot \frac{{{2}^{n}}}{{{2}^{n+1}}}=\frac{1}{2}<1$.
Dunque, si tratta di una serie convergente 😀!
A questo punto tutte le questioni teoriche sono state affrontate e anche il professore più pignolo non avrebbe nulla che gli farebbe storcere il naso leggendo il mio svolgimento 🙃☺😍💪🤓!
RIPETIZIONI DI ANALISI MATEMATICA AVANZATA
A questo punto proviamo a risolverla, proviamo ad uscire dai concetti base dell’analisi matematica (quelli che si studiano per intenderci in “analisi matematica 1” o “analisi matematica A”) e spingiamoci verso concetti teoricamente più avanzati, come quelli che si introducono spesso in una materia che nelle varie facoltà di ingegneria prende il nome di “analisi matematica 2”, o “analisi matematica B”.
Chiamiamo in causa le successioni e serie di funzioni:
Partiamo dalla successione di funzione ${{f}_{n}}\left( x \right)={{4}^{-n\cdot x}}$ da cui ricaviamo la serie di funzioni $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{{{f}_{n}}\left( x \right)}=\sum\limits_{n=0}^{+\infty }{{{4}^{-nx}}}-1=\frac{1}{1-{{4}^{-x}}}-1$ .
A questo punto deriviamo entrambi i membri dell’equazione e seguiamo una serie di passaggi algebrici.
$\frac{\partial }{\partial x}\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{{{f}_{n}}\left( x \right)}=\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{\partial }{\partial x}{{4}^{-nx}}}=-\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{n\ln 4\cdot {{4}^{-nx}}}=\frac{\partial }{\partial x}\left( \frac{1}{1-{{4}^{-x}}}-1 \right)$
$-\ln 4\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{n\cdot {{4}^{-nx}}}=-\frac{\ln 4\cdot {{4}^{-x}}}{{{\left( 1-{{4}^{-x}} \right)}^{2}}}$
$\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{n\cdot {{4}^{-nx}}}=\frac{{{4}^{-x}}}{{{\left( 1-{{4}^{-x}} \right)}^{2}}}$
A questo punto basta porre $x=1$, $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{n\cdot {{4}^{-n}}}=\frac{{{4}^{-1}}}{{{\left( 1-{{4}^{-1}} \right)}^{2}}}=\frac{4}{9}$ e voilà siamo giunti alla soluzione 🤓!
Anche in questo caso, molto abilmente, siamo giunti alla stessa soluzione!
Ma ci siamo dimenticati di discutere qualche aspetto teorico🤔? Se il professore di matematica che corregge il compito si accontenta del fatto che lo studente giunga alla soluzione, allora senza dubbio questo esercizio passa con punteggio massimo, perché il risultato è corretto e non ci sono errori di calcolo!
Ma se invece si trattasse di un professore pignolo, allora si aspetterebbe da te che ogni passaggio venisse argomentato.
Allora, passiamo alle questioni teoriche e vediamo cosa ho omesso nella soluzione. La prima questione che non ho affrontato è la convergenza, e trattandosi di serie di funzioni e non di semplici serie numeriche, mi chiedo se posso accontentarmi della convergenza puntuale, o mi serve una condizione più forte, come ad esempio la convergenza uniforme🤔.
Siccome devo derivare entrambi i membri, allora significa che sto facendo appello devo al teorema del passaggio del segno della derivata sotto il segno di sommatoria, e quindi non è sufficiente la convergenza puntuale, devo dimostrare che esiste un intervallo che contiene $x=1$ al suo interno (non al bordo🙄!) in cui la serie converge uniformemente, altrimenti lo svolgimento che ho proposto non sarebbe valido🤒.
La serie in questione è $\sum\limits_{n=0}^{+\infty }{{{4}^{-nx}}}$ . La successione ${{4}^{-nx}}$ è monotona decrescente per ogni $x\in \mathbb{R}$ e per ogni $n\in \mathbb{N}$, quindi ad esempio se $x\ge \frac{1}{2}$ allora la successione ammette massimo e quindi estremo superiore proprio in $x=\frac{1}{2}$ e di conseguenza se prendo l’intervallo $I=\left[ \frac{1}{2},+\infty \right)$ posso scrivere ${{M}_{n}}=\underset{x\in I}{\mathop{\sup }}\,{{4}^{-nx}}=\frac{1}{{{2}^{n}}}$, e poiché $\sum\limits_{n=0}^{+\infty }{{{M}_{n}}}$ è convergente (serie geometrica di ragione minore di uno in modulo) allora la serie converge addirittura totalmente in $I$ e quindi sicuramente converge anche uniformemente.
Ora che ho chiarito che la successione converge uniformemente in $I$ e che $x=1$ è un punto che si trova all’interno dell’intervallo, allora la soluzione che ho proposto non è più attaccabile, perché tutti i teoremi che ho usato, rispettano le ipotesi di validità 🙃☺😍💪🤓.
ANALISI COMPLESSA 😱😲🤓
Per finire voglio proporti una soluzione ancora più avanzata, scomodando l’analisi complessa e l’analisi funzionale: La trasformata zeta, è una trasformata che si applica in ambito dell’analisi complessa e in ambito ingegneristico per l’analisi di segnali numerici nella teoria dei segnali. Essa era già nota concettualmente a Laplace ed esiste un legame dimostrabile con la trasformata di Laplace. In ogni caso questo tipo di trasformata ha attratto l’interesse da un punto di vista matematico, e in particolare nella matematica discreta a partire dal 1947, quando alla Columbia University di New York, fu proposta come metodo di risoluzione di equazioni alle differenze lineari a coefficienti costanti.
In analisi funzionale, la trasformata zeta di una successione è definita come $X\left( z \right)=\sum\limits_{n=-\infty }^{+\infty }{{{x}_{n}}\cdot {{z}^{-n}}}$ dove $z\in \mathbb{C}$. In particolare, la trasformata zeta della successione ${{y}_{n}}=\left\{ \begin{align} & n,\,\,\,n\ge 0 \\ & 0,\,\,\,\,n<0 \\\end{align} \right.$ rientra tra le trasformate notevoli e vale $Y\left( z \right)=\frac{{{z}^{-1}}}{{{\left( 1-{{z}^{-1}} \right)}^{2}}}$, e la sua regione di convergenza è dato dall’insieme di numeri complessi
Definito da $ROC=\left\{ z\in \mathbb{C}:\left| z \right|>1 \right\}$ . Ma se si osserva che la trasformata $Y\left( z \right)=\sum\limits_{n=-\infty }^{+\infty }{{{y}_{n}}\cdot {{z}^{-n}}}=\sum\limits_{n=0}^{+\infty }{n\cdot {{z}^{-n}}}=\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{n\cdot {{z}^{-n}}}$ e che posto$z=4$ (punto appartenente alla regione di convergenza della trasformata) si ottiene proprio la serie in esame allora $Y\left( 4 \right)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{n\cdot {{4}^{-n}}}=\frac{{{4}^{-1}}}{{{\left( 1-{{4}^{-1}} \right)}^{2}}}=\frac{4}{9}$
E cioè, Il risultato della serie numerica non è altro che la trasformata zeta della successione ${{y}_{n}}$ calcolata per $z=4$ 🙃☺😍💪🤓.
BLOG DIDATTICO
ANALISI MATEMATICA 1
Insiemi Numerici e Funzioni Reali
Coefficiente binomiale e binomio di Newton.
Estremi e estremanti di insiemi reali
Numeri Complessi
Numeri Complessi e Rappresentazione nel piano di Gauss
Rappresentazione dei numeri complessi
Operazioni algebriche con i numeri complessi
Coniugato di un numero complesso
Potenza di un numero complesso – Formula di De Moivre
Radici di un numero complesso – Formula di De Moivre
Limiti
Teorema di unicità del limite.
Teorema sulla limitatezza delle successioni convergenti
Teorema sull’esistenza del limite delle successioni monotone
ANALISI MATEMATICA 2
Continuità, derivabilità e differenziabilità
Derivate direzionali e derivate parziali, piano tangente a una funzione, topologia, domini.
- Limiti di funzioni di due variabili reali: definizioni.
- Esempi su come dimostrare l’esistenza del limite o viceversa la non esistenza del limite di una funzione di due variabili reali.
- Calcolo di limiti di una funzione di due variabili reali, al variare o meno di un certo parametro: esercizi.
- Continuità, derivabilità e differenziabilità di una funzione.
Massimi e minimi di funzioni in più variabili
- Studio di massimi, minimi e punti di Sella su tutto il dominio naturale attraverso lo studio della matrice Hessiana
- Studio di punti stazionari, quando la matrice Hessiana risulta degenere
- Ricerca di massimi e minimi assoluti su insiemi chiusi e limitati.
- Massimi e minimi vincolati mediante moltiplicatori di Lagrange.
Integrali doppi e tripli, come decidere il cambio di variabile?
- Domini Normali (Semplici).
- Disegnare gli insiemi nel piano cartesiano in due e in tre dimensioni.
- Integrali doppi
- Integrali tripli
- Teoremi di Tonelli e Fubini
- Cambio di variabili in integrali doppi e tripli.
- Altri cambi di variabili e matrice Jacobiana.
- Coordinate sferiche, polari, ellittiche
- Calcolo di volumi e superfici in (mathbb{R}^3)
- Calcolo di volumi mediante il metodo dell’integrazione per strati (stratificazione).
- Integrazione per fili.
- Teoremi di Guldino.
- Calcolo del baricentro di solidi e superfici.
- Integrali di volume: massa e momento di inerzia di un solido.
Parametrizzazione di curve e superfici
- Parametrizzazione di curve e superfici.
- Semplicità, regolarità, chiusura di curve e superfici.
- Vettori tangenti e normali a superfici e curve
- Integrali curvilinei di prima specie.
- Integrali superficie di prima specie.
Campi vettoriali
- Integrali di linea di seconda specie, meglio noti come lavoro di un campo vettoriale attravero un percorso definito da una curva.
- Integrali di superficie di seconda specie, meglio noti come flusso di un campo vettoriale attraverso un superficie.
- Campi conservativi e potenziale di un campo vettoriale.
- Calcolo di integrali di linea di seconda specie attraverso il potenziale.
- Circuitazione di un campo vettoriale (integrale di linea di seconda specie su una curva chiusa)
- Teorema di Stokes
- Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie chiusa (integrali di superficie di seconda specie su un superficie chiusa)
- Teorema della divergenza.
- Formule di Gauss Green
Equazioni differenziali
- Definizioni di ordine di un equazione differenziale, problema di Cauchy, equazioni lineari a coefficienti costanti o variabili, equazioni omogenee e non omogenee e poi basta così
- Equazioni differnziali del primo ordine a variabili separabili.
- Studio di equazioni differenziali lineari del primo ordine a coefficienti variabili.
- Equazioni differnziali lineari a coefficienti costanti di ordine qualunque: metodo della verosimiglianza e metodo delle variazione delle costanti di Lagrange.
- Sistemi di equazioni differenziali, e studio inoltre di stabità delle soluzioni.
- Teoremi di esistenza locale e globale delle soluzioni.
Serie di potenze, in particolare: serie di Laurin, serie di Fourier
- Successioni di funzioni: Convergenza puntuale, uniforme, assoluta e totale.
- Successioni di funzioni.
- Serie di funzioni.
- Serie di potenze.
- La serie di Fourier, come si calcola, quali sono le varie definizioni, come si studia la convergenza.
- La serie di McLaurin
ALCUNI FORMULARI, DISPENSE ED ESEMPI UTILI PER L’ESAME DI ANALISI MATEMATICA 1
Nei link di seguito potete scaricare alcuni formulari scritti da me e molto utili per l’esame di analisi Matematica 1:
Formulario su insiemi reali – Topologia sull’asse dei reali
Formulario sui Numeri Complessi
Formulario su Derivate Fondamentali e Regole di Derivazione
Formulario su Limiti notevoli e sviluppi di Mclaurin (Taylor)
Formulario su Limiti, approssimazioni asintotiche e asintoti di una funzione
Studio di funzioni – analisi matematica 1
Formulario per Integrali definiti ed indefiniti
Formulario per Integrali Impropri
Formulario per Serie Numeriche
Integrali – DISPENSA REALIZZATA DAL SOTTOSCRITTO ing. Casparriello Marco
Esempio di PROVA D’ESAME SVOLTA – ingegneria dell’autoveicolo UNIMORE
RIPETIZIONI DI ANALISI MATEMATICA
Studi ingegneria e sei in difficoltà con gli esami di Analisi Matematica o Teoria dei Segnali?
Prova le mie ripetizioni di analisi matematica e teoria dei segnali valide per gli studenti di qualsiasi indirizzo di ingegneria e altre facoltà scientifiche in generale.
Di professione sono un ingegnere ma svolgo servizi di tutoraggio, ho lavorato come professore ed ho più di 10 anni di esperienza di insegnamento di Teoria dei Segnali e Analisi Matematica.
Domande frequenti (F.A.Q.)
In questa sezione troverai tutte le domande a cui rispondo frequentemente.
Quali materie insegno?
Le materie che insegno sono:
- Analisi Matematica 1
- Analisi Matematica 2
Come avviene la lezione?
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La lezione avviene tramite condivisione dello schermo del tablet e a fine lezione è potrai ricevere il materiale scritto durante la lezione in formato PDF.
Come preontare la tua lezione
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Modulo di contatto:
La mia passione per l’insegnamento
Grazie ai miei studi e agli ottimi insegnanti che ho incontrato lungo il mio percorso accademico, composto da laurea in ingegneria e successivo dottorato di ricerca, sono riuscito a trasformare la mia passione per la matematica in un lavoro che mi riempie di gioie e soddisfazioni.
La didattica richiede tanta pazienza, impegno e dedizione. Grazie a queste qualità riesco a trasmettere allo studente la passione e l’autostima che servono per sentirsi padroni della materia.
Nel corso degli anni, oltre ad aver svolto diversi lavori come docente, ho sempre svolto parallelamente lezioni private individuali e a gruppi di studenti, con ottimi risultati.
La mia più grande soddisfazione è vedere lo studente raggiungere i suoi obbiettivi, e ogni nuovo studente per me è una nuova sfida da vincere.
Grazie al mio aiuto e ai miei consigli tutto diventa più facile e il bello della matematica è che molte volte basta cambiare il punto di vista e tutto appare più semplice, e molte volte farsi guidare da un bravo insegnante è la scelta migliore per superare tutti gli scogli.
Curriculum sintetico
- Laureato a Pisa in ingegneria delle Telecomunicazioni a pieni voti
- Progettista di apparati acustici subacquei
- Dottorato di ricerca a Modena su sensori inerziali
- Gestione centro didattico a Modena
- Docente
- Lezioni private
Nel corso degli anni ho preparato con successo oltre 3000 studenti universitari nelle materie:
- Analisi Matematica 1
- Analisi Matematica 2
Il mio metodo didattico è molto pratico e orientato agli obiettivi. Aiuto lo studente a collegare nozioni teoriche con aspetti applicativi della materia. Infatti proprio grazie ad esempi pratici spesso estrapolati proprio dal materiale didattico fornito dallo studente (ad esempio prove d’esame di appelli passati o esercizi forniti dal docente) mostro il significato pratico dei vari teoremi e aiuto a comprendere come questi possano essere generalizzati per risolvere qualunque tipo di prova d’esame.
In altre parole grazie alle mie lezione diventerai padrone della materia e non avrai più paura di affrontare l’esame.
Con pazienza ti farò esercitare per assicurarmi che tu abbia recepito bene le mie spiegazioni.
Se il problema invece riguarda solo alcuni dubbi specifici, potrai preparare una lista di domande da farmi e io risponderò in maniera esaustiva, aiutandomi anche con esempi pratici.
Serietà e professionalità garantiti.
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Argomenti trattati per l’esame di Analisi Matematica 1
- Insiemi reali e topologia sull’asse dei reali
- L’insieme dei numeri complessi
- Limiti (Taylor, limiti notevoli, De L’Hopital, gerarchia degli infiniti, limiti di successioni) e comportamenti asintotici di funzioni reali
- Continuità e derivabilità di funzioni
- Studio di funzioni con tecniche convenzionali
- Studio di funzioni in maniera non convenzionale
- Integrali indefiniti e definiti
- Studio della convergenza di integrali impropri
- Serie numeriche
- Studio della convergenza di serie parametriche
- Dimostrazioni e principio di induzione
Qui puoi trovare alcune lezioni di analisi matematica 1 scritti da me.
ALCUNI FORMULARI, DISPENSE ED ESEMPI UTILI PER L’ESAME DI ANALISI MATEMATICA 1
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Formulario su insiemi reali – Topologia sull’asse dei reali
Formulario sui Numeri Complessi
Formulario su Derivate Fondamentali e Regole di Derivazione
Formulario su Limiti notevoli e sviluppi di Mclaurin (Taylor)
Formulario su Limiti, approssimazioni asintotiche e asintoti di una funzione
Studio di funzioni – analisi matematica 1
Formulario per Integrali definiti ed indefiniti
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Argomenti trattati per l’esame di Analisi Matematica 2
- Continuità, derivabilità e differenziabilità per funzioni reali o complesse in più variabili
- Studio di funzioni in più variabili.
- Rappresentazione di insiemi in due e tre dimensioni.
- Studio dei punti critici in più variabili (massimi, minimi e punti di Sella)
- Ricerca di massimo e minimo di una funzione di più variabili su insiemi.
- Ottimizzazione vincolata (moltiplicatori di Lagrange)
- Studio e rappresentazione cartesiana di curve e superfici
- Campi vettoriali
- Integrali doppi e tripli
- Integrali di linea di prima e seconda specie
- Integrali di superficie di prima e seconda specie
- Teoremi di Gauss-Green
- Teoremi di Pappo-Guldino
- Teorema di Stockes in tutte le sue forme
- Massa, baricentro e momento di inerzia di un solido
- Successioni di funzioni
- Serie di funzioni
- Serie di potenze
- Sviluppo in serie di Fourier di funzioni
- Trasformata di Fourier
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