Lezioni di analisi matematica 2

Continuità, derivabilità e differenziabilità

Derivate direzionali e derivate parziali, piano tangente a una funzione, topologia, domini.

Limiti di funzioni di due variabili reali: definizioni.
Esempi su come dimostrare l’esistenza del limite o viceversa la non esistenza del limite di una funzione di due variabili reali.
Calcolo di limiti di una funzione di due variabili reali, al variare o meno di un certo parametro: esercizi.
Continuità, derivabilità e differenziabilità di una funzione.

Studio di massimi, minimi e punti di Sella su tutto il dominio naturale attraverso lo studio della matrice Hessiana
Studio di punti stazionari, quando la matrice Hessiana risulta degenere
Ricerca di massimi e minimi assoluti su insiemi chiusi e limitati.
Massimi e minimi vincolati mediante moltiplicatori di Lagrange.

Domini Normali (Semplici).
Disegnare gli insiemi nel piano cartesiano in due e in tre dimensioni.
Integrali doppi
Integrali tripli
Teoremi di Tonelli e Fubini
Cambio di variabili in integrali doppi e tripli.
Altri cambi di variabili e matrice Jacobiana.
Coordinate sferiche, polari, ellittiche
Calcolo di volumi e superfici in \(\mathbb{R}^3\)
Calcolo di volumi mediante il metodo dell’integrazione per strati (stratificazione).
Integrazione per fili.
Teoremi di Guldino.
Calcolo del baricentro di solidi e superfici.
Integrali di volume: massa e momento di inerzia di un solido.

Integrali di linea di seconda specie, meglio noti come lavoro di un campo vettoriale attravero un percorso definito da una curva.
Integrali di superficie di seconda specie, meglio noti come flusso di un campo vettoriale attraverso un superficie.
Campi conservativi e potenziale di un campo vettoriale.
Calcolo di integrali di linea di seconda specie attraverso il potenziale.
Circuitazione di un campo vettoriale (integrale di linea di seconda specie su una curva chiusa)
Teorema di Stokes
Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie chiusa (integrali di superficie di seconda specie su un superficie chiusa)
Teorema della divergenza.
Formule di Gauss Green

Definizioni di ordine di un equazione differenziale, problema di Cauchy, equazioni lineari a coefficienti costanti o variabili, equazioni omogenee e non omogenee e poi basta così
Equazioni differnziali del primo ordine a variabili separabili.
Studio di equazioni differenziali lineari del primo ordine a coefficienti variabili.
Equazioni differnziali lineari a coefficienti costanti di ordine qualunque: metodo della verosimiglianza e metodo delle variazione delle costanti di Lagrange.
Sistemi di equazioni differenziali, e studio inoltre di stabità delle soluzioni.
Teoremi di esistenza locale e globale delle soluzioni.

Successioni di funzioni: Convergenza puntuale, uniforme, assoluta e totale.
Successioni di funzioni.
Serie di funzioni.
Serie di potenze.
La serie di Fourier, come si calcola, quali sono le varie definizioni, come si studia la convergenza.
La serie di McLaurin