Lezioni di analisi Matematica 2 – esercizi svolti

Continuità, derivabilità e differenziabilità

Derivate direzionali e derivate parziali, piano tangente a una funzione, topologia, domini.

• Limiti di funzioni di due variabili reali: definizioni.
• Esempi su come dimostrare l’esistenza del limite o viceversa la non esistenza del limite di una funzione di due variabili reali.
• Calcolo di limiti di una funzione di due variabili reali, al variare o meno di un certo parametro: esercizi.
• Continuità, derivabilità e differenziabilità di una funzione.

ALCUNI ESERCIZI SVOLTI

Massimi e minimi di funzioni in più variabili

• Studio di massimi, minimi e punti di Sella su tutto il dominio naturale attraverso lo studio della matrice Hessiana
• Studio di punti stazionari, quando la matrice Hessiana risulta degenere
• Ricerca di massimi e minimi assoluti su insiemi chiusi e limitati.
• Massimi e minimi vincolati mediante moltiplicatori di Lagrange.

ALCUNI ESERCIZI SVOLTI

Integrali doppi e tripli, come decidere il cambio di variabile?

• Domini Normali (Semplici).
• Disegnare gli insiemi nel piano cartesiano in due e in tre dimensioni.
• Integrali doppi
• Integrali tripli
• Teoremi di Tonelli e Fubini
• Cambio di variabili in integrali doppi e tripli.
• Altri cambi di variabili e matrice Jacobiana.
• Coordinate sferiche, polari, ellittiche
• Calcolo di volumi e superfici in (mathbb{R}^3)
• Calcolo di volumi mediante il metodo dell’integrazione per strati (stratificazione).
• Integrazione per fili.
• Teoremi di Guldino.
• Calcolo del baricentro di solidi e superfici.
• Integrali di volume: massa e momento di inerzia di un solido.

Parametrizzazione di curve e superfici

• Parametrizzazione di curve e superfici.
• Semplicità, regolarità, chiusura di curve e superfici.
• Vettori tangenti e normali a superfici e curve
• Integrali curvilinei di prima specie.
• Integrali superficie di prima specie.

ESERCIZI SVOLTI

Campi vettoriali

• Integrali di linea di seconda specie, meglio noti come lavoro di un campo vettoriale attravero un percorso definito da una curva.
• Integrali di superficie di seconda specie, meglio noti come flusso di un campo vettoriale attraverso un superficie.
• Campi conservativi e potenziale di un campo vettoriale.
• Calcolo di integrali di linea di seconda specie attraverso il potenziale.
• Circuitazione di un campo vettoriale (integrale di linea di seconda specie su una curva chiusa)
• Teorema di Stokes
• Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie chiusa (integrali di superficie di seconda specie su un superficie chiusa)
• Teorema della divergenza.
• Formule di Gauss Green

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ESERCIZI SVOLTI

Equazioni differenziali

• Definizioni di ordine di un equazione differenziale, problema di Cauchy, equazioni lineari a coefficienti costanti o variabili, equazioni omogenee e non omogenee e poi basta così
• Equazioni differnziali del primo ordine a variabili separabili.
• Studio di equazioni differenziali lineari del primo ordine a coefficienti variabili.
• Equazioni differnziali lineari a coefficienti costanti di ordine qualunque: metodo della verosimiglianza e metodo delle variazione delle costanti di Lagrange.
• Sistemi di equazioni differenziali, e studio inoltre di stabità delle soluzioni.
• Teoremi di esistenza locale e globale delle soluzioni.

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Serie di potenze, in particolare: serie di Laurin, serie di Fourier

• Successioni di funzioni: Convergenza puntuale, uniforme, assoluta e totale.
• Successioni di funzioni.
• Serie di funzioni.
• Serie di potenze.
• La serie di Fourier, come si calcola, quali sono le varie definizioni, come si studia la convergenza.
• La serie di McLaurin