Formulario sui Numeri Complessi
UNITÀ IMMAGINARIA
$i=\sqrt{-1}\,,$ ${{i}^{2}}=-1\,,$ ${{i}^{3}}=i\cdot {{i}^{2}}=-i\,\,,$ ${{i}^{4}}={{i}^{2}}\cdot {{i}^{2}}=1\,,\,\,….$
PIANO DI GAUSS
RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI COMPLESSI
- FORMA ALGEBRICA $x=a+ib\,\,\,\,$ $con\,\,\,\,a,b\in \mathbb{R}$
- FORMA ESPONENZIALE $x=\rho {{e}^{i\alpha }}\,\,\,\,\,\,,\rho >0\,\,\,\theta \in \left[ 0,2\pi \right]$
- FORMA TRIGONOMETRICA $x=\rho \cos \alpha +i\rho \sin \alpha$
PASSARE DA UNA RAPPRESENTAZIONE ALL’ALTRA
FORMA ALGEBRICA => FORMA ESPONENZIALE
$\rho =\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$
$\begin{cases} \alpha =\arctan \frac{b}{a}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{se a}>0 \\ \alpha =\arctan \frac{b}{a}+\pi \text{ se a }<0 \\ \end{cases} $
$ \begin{cases} & \cos \alpha =\frac{a}{\rho } \\ & \sin \alpha =\frac{b}{\rho }\\ \end{cases} $
FORMA ESPONENZIALE => FORMA ALGEBRICA
$\rho \cdot {{e}^{i\alpha }}=\rho \cos \alpha +i\,\rho \sin \alpha $
CONIUGATO DI UN NUMERO COMPLESSO
Sia ${{z}_{0}}=a+ib=\rho \left( \cos \theta +i\sin \theta \right)$
Il coniugato è dato da ${{\bar{z}}_{0}}=a-ib=\rho \left( \cos \left( -\theta \right)+i\sin \left( -\theta \right) \right)$
MODULO DI UN NUMERO COMPLESSO
Sia ${{z}_{0}}=a+ib=\rho \left( \cos \theta +i\sin \theta \right)$
Il modulo è dato da $\left| {{z}_{0}} \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\rho $
PARTE REALE E PARTE IMMAGINARIA DI UN NUMERO COMPLESSO
Sia ${{z}_{0}}=a+ib=\rho \left( \cos \theta +i\sin \theta \right)$
La parte reale e immaginaria sono date rispettivamente da $\operatorname{Re}\left\{ {{z}_{0}} \right\}=a=\rho \cos \theta \,\,,\,\,\,\,\,\operatorname{Im}\left\{ {{z}_{0}} \right\}=b=\rho \sin \theta \,\,$
DIVISIONE TRA DUE NUMERI COMPLESSI
$\frac{1-i}{3+2i}=\frac{1-i}{3+2i}\frac{3-2i}{3-2i}=\frac{\left( 1-i \right)\left( 3-2i \right)}{9+4}$
PRODOTTO TRA DUE NUMERI COMPLESSI
${{z}_{1}}\cdot {{z}_{2}}={{\rho }_{1}}{{\rho }_{2}}\left( \cos \left( {{\theta }_{1}}+{{\theta }_{2}} \right)+i\sin \left( {{\theta }_{1}}+{{\theta }_{2}} \right) \right)$
FORMULE DI DE MOIVRE
Sia ${{z}_{0}}=a+ib=\rho \left( \cos \theta +i\sin \theta \right)$
POTENZA DI UN NUMERO COMPLESSO
${{z}_{0}}^{n}={{\rho }^{n}}\left( \cos n\theta +i\sin n\theta \right)$
RADICI DI UN NUMERO COMPLESSO
$\sqrt[n]{{{z}_{0}}}=\,\sqrt[n]{\rho }\,\,\left( \cos \left( \frac{\theta }{n}+\frac{2k\pi }{n} \right)+i\sin \left( \frac{\theta }{n}+\frac{2k\pi }{n} \right) \right)\,\,k=0,..,n-1$