DERIVATE

FUNZIONE COSTANTE:

$y=c\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,{y}’=0$

POTENZA:

$y={{x}^{a}}\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,{y}’=a\,{{x}^{a-1}}$
Caso particolare: la radice
$y=\sqrt{x}\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,{y}’=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

ESPONENZIALE:

$y={{a}^{x}}\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,{y}’=\ln a\,\,{{a}^{x}}$
$y={{e}^{x}}\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,{y}’=\,\,{{e}^{x}}$

LOGARITMO:

$y={{\log }_{a}}x\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,{y}’=\frac{1}{{{\log }_{a}}e\,\,\,x}$
$y=\ln x\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,{y}’=\frac{1}{\,x}$

FUNZIONI TRIGONOMETRICHE:

$y=\sin x\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,{y}’=\cos x$
$y=\cos x\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,{y}’=-\sin x$
$y=\tan x\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,{y}’=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}=1+{{\tan }^{2}}x$
$y=\arcsin x\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,{y}’=\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}$
$y=\arccos x\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,{y}’=-\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}$
$y=\arctan x\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,{y}’=\frac{1}{1+{{x}^{2}}}$

FUNZIONI IPERBOLICHE:

$y=\sinh x\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,{y}’=\cosh x$
$y=\cosh x\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,{y}’=\sinh x$
$y=\tanh x\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,{y}’=\frac{1}{{{\cosh }^{2}}x}=1-{{\tanh }^{2}}x\,$
$y={{\sinh }^{-1}}\,x\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,{y}’=\frac{1}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}$
$y={{\cosh }^{-1}}x\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,{y}’=\frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}-1}}$
$y={{\tanh }^{-1}}x\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,{y}’=\frac{1}{1-{{x}^{2}}}$

REGOLE DI DERIVAZIONE

PROPRIETA’ DI LINEARITA’:

$\frac{d}{dx}\left[ \alpha \,f\left( x \right)+\beta \,g\left( x \right) \right]=\alpha \,{f}’\left( x \right)+\beta \,{g}’\left( x \right)$

DERIVATA DEL PRODOTTO TRA DUE FUNZIONI

$\frac{d}{dx}\left[ f\left( x \right)g\left( x \right) \right]={f}’\left( x \right)g\left( x \right)+f\left( x \right){g}’\left( x \right)$

DERIVATA DEL RAPPORTO TRA DUE FUNZIONI

$\frac{d}{dx}\left[ \frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)} \right]=\frac{{f}’\left( x \right)g\left( x \right)-f\left( x \right){g}’\left( x \right)}{{{\left[ g\left( x \right) \right]}^{2}}}$

DERIVATA DELLA FUNZIONE COMPOSTA

$\frac{d}{dx}f\left[ g\left( x \right) \right]={f}’\left[ g\left( x \right) \right]\cdot {g}’\left( x \right)$

DERIVATA DELLA FUNZIONE INVERSA

$\frac{d}{dx}\left[ {{f}^{-1}}\left( {{y}_{0}} \right) \right]=\frac{1}{{f}’\left( {{x}_{0}} \right)}\,\,\,\,\,\,dove\,\,\,{{y}_{0}}=f\left( {{x}_{0}} \right)$

RETTA TANGENTE AD UN GRAFICO

$y={f}’\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+f\left( {{x}_{0}} \right)$

DIFFERENZIALE DI UNA FUNZIONE

Il differenziale di una funzione nel punto ${{x}_{0}}$ corrisponde all’approssimazione locale di Taylor del primo ordine, ed equivale ad approssimare la funzione in un intorno infinitesimo del punto ${{x}_{0}}$ la funzione $f\left( x \right)$
$f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)\approx f\left( {{x}_{0}} \right)+{f}’\left( {{x}_{0}} \right)\Delta x$

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