Formulario Successioni
SUCCESSIONI
“Definitivamente” per una successione significa “da un certo n in poi”
TEOREMA DEL CONFRONTO
CONFRONTO A 2
Se ${{a}_{n}}\le {{b}_{n}}\,\,\,$definitivamente, allora si verifica che:
\(\,\,\left\{ \begin{align}& se\,\,\,{{a}_{n}}\to \infty \,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,{{b}_{n}}\to \infty \\& se\,\,\,{{b}_{n}}\to -\infty \,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,{{a}_{n}}\to -\infty \\\end{align} \right.\)
TEOREMA DEI CARABINIERI (CONFRONTO A 3)
Se \({{a}_{n}}\le {{b}_{n}}\le {{c}_{n}}\,\) se \({{a}_{n}}\to l\,\,\,e\,\,\,{{c}_{n}}\to l\) \(\Rightarrow\) \({{b}_{n}}\to l\)
TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO
Se \({{a}_{n}}\to \,\,l>0\) allora \({{a}_{n}}>0\) definitivamente
Se \({{a}_{n}}\to \,\,l<0\) allora \({{a}_{n}}<0\) definitivamente
CRITERIO DELLA RADICE
Se \(\sqrt[n]{{{a}_{n}}}\to l\in \mathbb{R}\cup \left\{ +\infty \right\}\,\,\,\), allora si verifica che:
\(se\,\,l>1\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,{{a}_{n}}\to \infty \)
\(se\,\,l<1\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,{{a}_{n}}\to 0\)
\(se\,\,\,l=1\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \) non si può trarre nessuna conclusione sul limite della successione
CRITERIO DEL RAPPORTO
Se \(\frac{{{a}_{n+1}}}{{{a}_{n}}}\to l\in \mathbb{R}\cup \left\{ +\infty \right\}\), allora si verifica che:
\(se\,\,l>1\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,{{a}_{n}}\to \infty \)
\(se\,\,l<1\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,{{a}_{n}}\to 0\)
\(se\,\,\,l=1\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \) non si può trarre nessuna conclusione sul limite della successione
CRITERIO DEL RAPPORTO-RADICE
\(\frac{{{a}_{n+1}}}{{{a}_{n}}}\to l\,\,\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\sqrt[n]{{{a}_{n}}}\to l\)
FORMULA DI STIRLING
Approssimazione asintotica per il fattoriale:
\(n!\underset{n\to +\infty }{\mathop{\sim }}\,{{n}^{n}}{{e}^{-n}}\sqrt{2\pi n}\)
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