Formulario Successioni
SUCCESSIONI
“Definitivamente” per una successione significa “da un certo n in poi”
TEOREMA DEL CONFRONTO
CONFRONTO A 2
Se ${{a}_{n}}\le {{b}_{n}}\,\,\,$definitivamente, allora si verifica che:
$\begin{cases} se\,\,\,{{a}_{n}}\to \infty \,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,{{b}_{n}}\to \infty \\ se\,\,\,{{b}_{n}}\to -\infty \,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,{{a}_{n}}\to -\infty \\\end{cases}$
TEOREMA DEI CARABINIERI (CONFRONTO A 3)
Se ${{a}_{n}}\le {{b}_{n}}\le {{c}_{n}}\,$ se ${{a}_{n}}\to l\,\,\,e\,\,\,{{c}_{n}}\to l$ $\Rightarrow$ ${{b}_{n}}\to l$
TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO
Se ${{a}_{n}}\to \,\,l>0$ allora ${{a}_{n}}>0$ definitivamente
Se ${{a}_{n}}\to \,\,l<0$ allora ${{a}_{n}}<0$ definitivamente
CRITERIO DELLA RADICE
Se $\sqrt[n]{{{a}_{n}}}\to l\in \mathbb{R}\cup \left\{ +\infty \right\}\,\,\,$, allora si verifica che:
$se\,\,l>1$ $\Rightarrow$ ${{a}_{n}}\to \infty $
$se\,\,l<1$ $\Rightarrow$ ${{a}_{n}}\to 0$
$se\,\,\,l=1$ $\Rightarrow $ non si può trarre nessuna conclusione sul limite della successione
CRITERIO DEL RAPPORTO
Se $\frac{{{a}_{n+1}}}{{{a}_{n}}}\to l\in \mathbb{R}\cup \left\{ +\infty \right\}$, allora si verifica che:
$se\,\,l>1$ $\Rightarrow$ ${{a}_{n}}\to \infty $
$se\,\,l<1$ $\Rightarrow$ ${{a}_{n}}\to 0$
$se\,\,\,l=1$ $\Rightarrow $ non si può trarre nessuna conclusione sul limite della successione
CRITERIO DEL RAPPORTO-RADICE
$\frac{{{a}_{n+1}}}{{{a}_{n}}}\to l\,\,\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\sqrt[n]{{{a}_{n}}}\to l$
FORMULA DI STIRLING
Approssimazione asintotica per il fattoriale:
$n!\underset{n\to +\infty }{\mathop{\sim }}\,{{n}^{n}}{{e}^{-n}}\sqrt{2\pi n}$