Estremi e estremanti di insiemi reali

Estremi e estremanti di insiemi reali

Vediamo ora alcune definizioni che spesso vengono richieste durante le prove di esame. Estremi di un insieme, cioè estremo superiore ed inferiore, dire se un insieme è limitato, estremanti ossia massimi e minimi di un insieme. Questo paragrafo quindi è dedicato a estremi e estremanti di insiemi reali.

Maggioranti e minoranti di un insieme reale

Diamo ora le definizioni di maggiorante, minorante e limitatezza di un insieme.
Si dice che\(b\in \mathbb{R}\)è un maggiorante di \(A\subseteq \mathbb{R}\) se \(b\ge a\,\,\,\,\forall a\in A\),
\(b\in \mathbb{R}\)è un minorante di \(A\subseteq \mathbb{R}\) se \(b\le a\,\,\,\,\forall a\in A\)
Si dice che\(A\subseteq \mathbb{R}\)si dice superiormente limitato se esiste almeno un maggiorante, si dice inferiormente limitato se esiste almeno un minorante
Se lo è sia superiormente che inferiormente allora si dice limitato.

Massimo e minimo di un insieme – estremanti

Gli estremanti di un insieme sono il massimo e minimo. Non è detto che esistono!

– \( M \) è il massimo dell’insieme \( A \subseteq \mathbb{R} \) se:

1. \( M \) è maggiore o uguale ad ogni elemento di \( A \), cioè \( M \geq a \) per ogni \( a \in A \).

2. \( M \) stesso appartiene all’insieme \( A \).

– \( m \) è il minimo dell’insieme \( A \subseteq \mathbb{R} \) se:

1. \( m \) è minore o uguale ad ogni elemento di \( A \), cioè \( m \leq a \) per ogni \( a \in A \).

2. \( m \) stesso appartiene all’insieme \( A \).

Estremo superiore ed estremo inferiore – definizione 1

Definizioni formali degli estremi di un insieme limitato, sia superiormente che inferiormente.

Se \( A \subseteq \mathbb{R} \) è un insieme reale superiormente limitato, allora l’estremo superiore \( L = \sup A \) è tale che:

1. \( L \) è maggiore o uguale ad ogni elemento di \( A \), cioè \( L \geq a \) per ogni \( a \in A \).

2. \( L \) è il più piccolo tra tutti i maggioranti di \( A \).

Se \( A \subseteq \mathbb{R} \) è un insieme reale inferiormente limitato, allora l’estremo inferiore \( L = \inf A \) è tale che:

1. \( L \) è minore o uguale ad ogni elemento di \( A \), cioè \( L \leq a \) per ogni \( a \in A \).

2. \( L \) è il più grande tra tutti i minoranti di \( A \). Gli estremi superiore e inferiore sono concetti fondamentali nell’analisi reale e sono utilizzati per caratterizzare le proprietà di convergenza degli insiemi e delle successioni.

Insiemi illimitati

Sia invece \(A\subseteq \mathbb{R}\)un insieme non limitato superiormente, allora si scrive \(\sup A=+\infty \) , mentre se \(A\subseteq \mathbb{R}\) non è limitato inferiormente, allora \(\inf A=-\infty \).

Vediamo alcuni esempi

Vediamo alcuni semplici esempi:

Esempio 1

\(A=(2,3]\)\(\max A=3\)

\(min A=Non\,Esise\)

\(sup A=3\,\,\,\,\inf A=2\)

Esempio 2

\(A=(2,+\infty )\)

\(\max A=\,Non\,Esiste\)

\(min A=Non\,Esise\)

\(sup A=+\infty \,\,\,\,\inf A=2\)

L’insieme non è superiormente limitato, ma è limitato inferiormente.

Esempio 3

\(\sup \mathbb{R}=+\infty \)

\(\inf \mathbb{R}=-\infty \)

\(\max \mathbb{R}=Non\,Esiste\)

\(\inf \mathbb{R}=Non\,Esiste\)

L’insieme dei numeri reali, non è né superiormente né inferiormente limitato

Estremo superiore ed estremo inferiore – definizione 2

A questo punto diamo una definizione di estremi di un insieme equivalente in maniera leggermente più complicata, ma necessaria per successive dimostrazioni.

– Sia \( A \subseteq \mathbb{R} \) un insieme reale superiormente limitato. L’estremo superiore \( L = \sup A \) è tale che:
1. \( L \) è maggiore o uguale ad ogni elemento di \( A \), cioè \( L \geq x \) per ogni \( x \in A \).
2. Per ogni \( \varepsilon > 0 \), esiste almeno un elemento \( x \) in \( A \) tale che \( x > L – \varepsilon \).

– Sia \( A \subseteq \mathbb{R} \) un insieme reale inferiormente limitato. L’estremo inferiore \( L = \inf A \) è tale che:
1. \( L \) è minore o uguale ad ogni elemento di \( A \), cioè \( L \leq x \) per ogni \( x \in A \).
2. Per ogni \( \varepsilon > 0 \), esiste almeno un elemento \( x \) in \( A \) tale che \( x < L + \varepsilon \).

Teorema di unicità degli estremi di un insieme reale

Enunciato: gli estremi di un insieme reale \(A\subseteq \mathbb{R}\) sono unici.

In altre parole un insieme non può ammettere più di un estremo superiore né più di un estremo inferiore.

Guarda la videolezione per maggiori dettagli

Dimostrazione.

Teorema: Unicità dell’estremo superiore (e inferiore)

Nel contesto dell’analisi reale, un importante concetto è quello degli estremi superiori e inferiori di un insieme di numeri reali. Questi valori forniscono informazioni cruciali sul comportamento di un insieme, specialmente quando si tratta di insiemi limitati.

In questo articolo, dimostreremo il teorema dell’unicità dell’estremo superiore di un insieme limitato superiormente. Questo teorema può essere dimostrato in modo analogo anche per l’estremo inferiore.

Definizioni Preliminari

Prima di dimostrare il teorema, forniamo alcune definizioni chiave.

Sia $ A $ un sottoinsieme non vuoto dei numeri reali $ \mathbb{R} $.

• Estremo Superiore: Un numero reale $ L $ è l’estremo superiore di $A$ (indicato come $L = \sup A )$ se soddisfa le seguenti proprietà:

1. $ L $ è maggiore o uguale ad ogni elemento di $ A $, cioè $ L \geq x $ per ogni $ x \in A $.
2. Per ogni $ \varepsilon > 0 $, esiste almeno un elemento $ x $ in $ A $ tale che $ x > L – \varepsilon $.

• Estremo Inferiore: Un numero reale $ L $ è l’estremo inferiore di $ A $ (indicato come $ L = \inf A )$ se soddisfa le seguenti proprietà:

1. $L $ è minore o uguale ad ogni elemento di $ A $, cioè $ L \leq x $ per ogni $ x \in A $.
2. Per ogni $ \varepsilon > 0 $, esiste almeno un elemento $ x $ in $ A $ tale che $ x < L + \varepsilon $.

Dimostrazione del Teorema dell’Unicità dell’Estremo Superiore

Dimostriamo ora il teorema dell’unicità dell’estremo superiore di un insieme limitato superiormente.

Dimostrazione:

Supponiamo per assurdo che esistano due valori distinti $ L_1 $ e $ L_2 $ che sono entrambi estremi superiori di $ A $, con $ L_2 > L_1 $.

Consideriamo le definizioni di estremo superiore per $ L_1 $ e $ L_2 $:

$$L_1 = \sup A \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0, \exists x_1 \in A \quad \text{tale che} \quad x_1 > L_1 – \varepsilon$$
$$ L_2 = \sup A \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0, \exists x_2 \in A \quad \text{tale che} \quad x_2 > L_2 – \varepsilon $$

Poiché $ L_1 $ e $ L_2 $ sono maggioranti di ( A ), possiamo dedurre che esistono elementi $ x_1 $ e $ x_2 $ in $ A $ tali che $ L_2 \geq x_1 $ e $ L_1 \geq x_2 $.

Unendo queste condizioni, otteniamo un sistema di disequazioni:

$$ \begin{cases} L_2 \geq x_1 > L_1 – \varepsilon \\ L_1 \geq x_2 > L_2 – \varepsilon \end{cases} $$

Che semplificato ci porta a:

$$ -\varepsilon < L_2 – L_1 < \varepsilon $$

Poiché questa disequazione deve essere verificata per ogni $ \varepsilon > 0 $, l’unica scelta che rende vera la disequazione è $ L_1 = L_2 $

Questo è un assurdo poiché avevamo ipotizzato che $ L_1 $ e $ L_2 $ fossero diversi fra loro.

Pertanto, l’estremo superiore di un insieme limitato superiormente è unico.

Conclusioni

Abbiamo dimostrato il teorema dell’unicità dell’estremo superiore di un insieme limitato superiormente. Questa proprietà fondamentale è essenziale nell’analisi reale e fornisce una base solida per l’applicazione degli estremi superiori in varie aree della matematica e della fisica.

Enunciato: Se un insieme è limitato superiormente allora l’estremo superiore esiste ed è finito. Se un insieme è limitato inferiormente allora l’estremo inferiore esiste ed è finito.

Per la dimostrazione di questo teorema andiamo ad utilizzare l’assioma di completezza. Facciamo quindi la dimostrazione nel caso di insieme superiormente limitato.

Dimostrazione del teorema di esistenza dell’estremo Superiore

Se un insieme \(A\subseteq \mathbb{R}\) è superiormente limitato allora ammette almeno un maggiorante cioè \(\exists x\in \mathbb{R}\,\,\,|\,\,\,x\ge a\,\forall a\in A\) .
A questo punto costruiamo l’insieme dei maggioranti di \(A\) che sarebbe \(B=\left\{ x\in \mathbb{R}|\,x\ge a\,\forall a\in A \right\}\).
Per come è stato costruito l’insieme \(B\) vale la proprietà che \(x\ge a\,\,\forall x\in B\,\,\forall a\in A\).
Per l’assioma di completezza esiste un elemento separatore \(c\in \mathbb{R}\) | \(a\le c\le x\) \(\forall x\in B\,\,\forall a\in A\)
Poiché \(c\ge a\,\,\forall a\in A\) allora possiamo dire che si tratta di un maggiorante e quindi\(c\in B\). Allo stesso tempo, siccome \(c\le x\,\,\forall x\in B\)allora è il valore minimo dell’insieme \(B\). In altre parole \(c\) è un maggiorante ed il più piccolo tra i maggioranti, quindi è proprio l’estremo superiore dell’insieme \(A\) ovvero \(c=\sup A\) . L’elemento separatore tra un insieme limitato e l’insieme dei suoi maggioranti coincide proprio con l’estremo superiore.

Perché l’estremo superiore da un valore aggiunto al massimo di un insieme?

In questo articolo abbiamo parlato di massimi e minimi, e di estremo superiore ed inferiore di un insieme. Queste sono solo le basi e questi concetti si estendono in contesti molto più vasti ed oltre il semplice insieme dei numeri reali. Ma in ogni caso, vediamo che un insieme non sempre ha un massimo e un minimo, e quando esistono coincidono con gli estremi. Quindi si può dire che concettualmente la definizione di estremo include quella di massimo e minimo. Ma la vera forza di questa definizione è che l’estremo superiore esiste sempre ed è unico, e quindi può essere usata per misurare entro quali limiti si estende un qualsiasi insieme, possiamo mettere così all’insieme dei confini netti e ben definiti.