Vediamo ora alcune definizioni che spesso vengono richieste durante le prove di esame. Estremi di un insieme, cioè estremo superiore ed inferiore, dire se un insieme è limitato, estremanti ossia massimi e minimi di un insieme. Questo paragrafo quindi è dedicato a estremi e estremanti di insiemi reali.
Diamo ora le definizioni di maggiorante, minorante e limitatezza di un insieme.
Si dice che\(b\in \mathbb{R}\)è un maggiorante di \(A\subseteq \mathbb{R}\) se \(b\ge a\,\,\,\,\forall a\in A\),
\(b\in \mathbb{R}\)è un minorante di \(A\subseteq \mathbb{R}\) se \(b\le a\,\,\,\,\forall a\in A\)
Si dice che\(A\subseteq \mathbb{R}\)si dice superiormente limitato se esiste almeno un maggiorante, si dice inferiormente limitato se esiste almeno un minorante
Se lo è sia superiormente che inferiormente allora si dice limitato.
Gli estremanti di un insieme sono il massimo e minimo. Non è detto che esistono!
Si dice che\(M\in \mathbb{R}\)è il valore massimo dell’insieme\(A\subseteq \mathbb{R}\)e si scrive \(M=\max A\) se
\(\begin{align}
& \left( i \right)M\ge a\,\,\,\forall a\in A \\
& \left( ii \right)M\in A \\
\end{align}\)
Si dice che \(m\) in \(\mathbb{R}\)è il valore minimo dell’insieme\(A\subseteq \mathbb{R}\)e si scrive \(m=\min A\) se
\(\begin{align}
& \left( i \right)m\le a\,\,\,\forall a\in A \\
& \left( ii \right)m\in A \\
\end{align}\)
Andiamo a questo punto a dare la definizione di estremi di un insieme. Per cominciare diamo la definizione in maniera semplice.
Sia \(A\subseteq \mathbb{R}\)un insieme reale superiormente limitato, si definisce estremo superiore \(L=\sup A\) quel valore che rispetta le seguenti proprietà:
\(\begin{align}
& \left( i \right)L\ge a\,\,\,\forall a\in A \\
& \left( ii \right)L\,\,\text{ }\!\!\grave{\mathrm{e}}\!\!\text{ }\,\,\text{il}\,\,\text{pi }\!\!\grave{\mathrm{u}}\!\!\text{ }\,\,\text{piccolo}\,\,\text{dei}\,\,\text{maggioranti} \\
\end{align}\)
Andiamo a questo punto a dare la definizione di estremi di un insieme. Sia \(A\subseteq \mathbb{R}\)un insieme reale inferiormente limitato, si definisce estremo inferiore \(L=\inf A\) quel valore che rispetta le seguenti proprietà:
\(\begin{align}
& \left( i \right)L\le a\,\,\,\forall a\in A \\
& \left( ii \right)L\,\,\text{ }\!\!\grave{\mathrm{e}}\!\!\text{ }\,\,\text{il}\,\,\text{pi }\!\!\grave{\mathrm{u}}\!\!\text{ }\,\,\text{grande}\,\,\text{dei}\,\,\text{minoranti} \\
\end{align}\)
Sia invece \(A\subseteq \mathbb{R}\)un insieme non limitato superiormente, allora si scrive \(\sup A=+\infty \) , mentre se \(A\subseteq \mathbb{R}\) non è limitato inferiormente, allora \(\inf A=-\infty \).
Vediamo alcuni semplici esempi:
Es1.
\(A=(2,3]\)\(\max A=3\)
\(min A=Non\,Esise\)
\(sup A=3\,\,\,\,\inf A=2\)
Es2.
\(A=(2,+\infty )\)
\(\max A=\,Non\,Esiste\)
\(min A=Non\,Esise\)
\(sup A=+\infty \,\,\,\,\inf A=2\)
L’insieme non è superiormente limitato, ma è limitato inferiormente.
Es3.
\(\sup \mathbb{R}=+\infty \)
\(\inf \mathbb{R}=-\infty \)
\(\max \mathbb{R}=Non\,Esiste\)
\(\inf \mathbb{R}=Non\,Esiste\)
L’insieme dei numeri reali, non è né superiormente né inferiormente limitato
A questo punto diamo una definizione di estremi di un insieme equivalente in maniera leggermente più complicata, ma necessaria per successive dimostrazioni.
Sia \(A\subseteq \mathbb{R}\)un insieme reale superiormente limitato, si definisce estremo superiore \(L=\sup A\) quel valore che rispetta le seguenti proprietà:
\(\begin{align}
& \left( i \right)L\ge x\,\,\,\forall x\in A \\
& \left( ii \right)\forall \varepsilon >0\,\,\exists x\in A\,\,|x>L-\varepsilon \,\,\,\, \\
\end{align}\)
Sia \(A\subseteq \mathbb{R}\)un insieme reale inferiormente limitato, si definisce estremo superiore \(L=\sup A\) quel valore che rispetta le seguenti proprietà:
\(\begin{align}
& \left( i \right)L\ge x\,\,\,\forall x\in A \\
& \left( ii \right)\forall \varepsilon >0\,\,\exists x\in A\,\,|x<L-\varepsilon \,\,\,\, \\
\end{align}\)
Enunciato: gli estremi di un insieme reale \(A\subseteq \mathbb{R}\) sono unici.
In altre parole un insieme non può ammettere più di un estremo superiore né più di un estremo inferiore.
Guarda la videolezione per maggiori dettagli
Questo teorema si dimostra per assurdo. Vedremo la dimostrazione nel caso dell’estremo superiore, ma vale allo stesso modo anche per quello inferiore.
Partiamo quindi con la negazione della tesi e quindi assumiamo che l’insieme ammette due valori diversi per l’estremo superiore diversi tra loro e cioè \({{L}_{1}}=\sup A\) , \({{L}_{2}}=\sup A\) e \({{L}_{2}}>{{L}_{1}}\) .
A questo punto riscriviamo la definizione di estremo superiore due volte:
\({{L}_{1}}=\sup A\)\(\Leftrightarrow \) \(\forall \varepsilon >0\,\exists {{x}_{1}}\in A\,|\,\,\,\,{{x}_{1}}>{{L}_{1}}-\varepsilon \)
\({{L}_{2}}=\sup A\)\(\Leftrightarrow \) \(\forall \varepsilon >0\,\exists {{x}_{2}}\in A\,|\,\,\,\,{{x}_{2}}>{{L}_{2}}-\varepsilon \)
Inoltre poiché \({{L}_{1}}\) e \({{L}_{2}}\)sono maggioranti posso anche scrivere che \({{L}_{2}}\ge {{x}_{1}}\) e \({{L}_{1}}\ge {{x}_{2}}\)
Mettendo insieme tutte queste condizioni posso scrivere il sistema
\(\left\{ \begin{align}
& {{L}_{2}}\ge {{x}_{1}}>{{L}_{1}}-\varepsilon \\
& {{L}_{1}}\ge {{x}_{2}}>{{L}_{2}}-\varepsilon \\
\end{align} \right.\) \(\Rightarrow \)
\(\left\{ \begin{align}
& {{L}_{2}}>{{L}_{1}}-\varepsilon \\
& {{L}_{1}}>{{L}_{2}}-\varepsilon \\
\end{align} \right.\)\(\Rightarrow \)
\(\left\{ \begin{align}
& {{L}_{2}}-{{L}_{1}}>-\varepsilon \\
& {{L}_{1}}-{{L}_{2}}>-\varepsilon \\
\end{align} \right.\)\(\Rightarrow \)
\(\left\{ \begin{align}
& {{L}_{2}}-{{L}_{1}}>-\varepsilon \\
& {{L}_{2}}-{{L}_{1}}<\varepsilon \\
\end{align} \right.\)\(\Rightarrow \)
\(-\varepsilon <{{L}_{2}}-{{L}_{1}}<\varepsilon \)
Poiché questa disequazione deve essere verificata \(\forall \varepsilon >0\) , l’unica scelta che rende vera la disequazione è \({{L}_{1}}={{L}_{2}}\) , arrivando alla contraddizione che nega l’assunzione iniziale e quindi il teorema risulta dimostrato.
Enunciato: Se un insieme è limitato superiormente allora l’estremo superiore esiste ed è finito. Se un insieme è limitato inferiormente allora l’estremo inferiore esiste ed è finito.
Per la dimostrazione di questo teorema andiamo ad utilizzare l’assioma di completezza. Facciamo quindi la dimostrazione nel caso di insieme superiormente limitato.
Se un insieme \(A\subseteq \mathbb{R}\) è superiormente limitato allora ammette almeno un maggiorante cioè \(\exists x\in \mathbb{R}\,\,\,|\,\,\,x\ge a\,\forall a\in A\) .
A questo punto costruiamo l’insieme dei maggioranti di \(A\) che sarebbe \(B=\left\{ x\in \mathbb{R}|\,x\ge a\,\forall a\in A \right\}\).
Per come è stato costruito l’insieme \(B\) vale la proprietà che \(x\ge a\,\,\forall x\in B\,\,\forall a\in A\).
Per l’assioma di completezza esiste un elemento separatore \(c\in \mathbb{R}\) | \(a\le c\le x\) \(\forall x\in B\,\,\forall a\in A\)
Poiché \(c\ge a\,\,\forall a\in A\) allora possiamo dire che si tratta di un maggiorante e quindi\(c\in B\). Allo stesso tempo, siccome \(c\le x\,\,\forall x\in B\)allora è il valore minimo dell’insieme \(B\). In altre parole \(c\) è un maggiorante ed il più piccolo tra i maggioranti, quindi è proprio l’estremo superiore dell’insieme \(A\) ovvero \(c=\sup A\) . L’elemento separatore tra un insieme limitato e l’insieme dei suoi maggioranti coincide proprio con l’estremo superiore.
