Massimo assoluto e minimo assoluto di una funzione reale
Definizione di massimo assoluto o massimo globale: Sia \(f\left( x \right)\) una funzione reale con \(f:A\to B\), diremo che il punto \({{P}_{0}}=\left( {{x}_{0}},f\left( {{x}_{0}} \right) \right)\)è un punto di massimo assoluto se \(\forall x\in A,\,\,f\left( x \right)\le f\left( {{x}_{0}} \right)\) Praticamente è il valore massimo più grande che la funzione assume sul proprio dominio e questo punto non è detto che esista. Definizione di minimo assoluto o minimo globale: Sia \(f\left( x \right)\) una funzione reale con \(f:A\to B\), diremo che il punto \({{P}_{0}}=\left( {{x}_{0}},f\left( {{x}_{0}} \right) \right)\)è un punto di minimo assoluto se \(\forall x\in A,\,\,f\left( x \right)\ge f\left( {{x}_{0}} \right)\)
Controimmagine di una funzione reale
Si definisce controimmagine di \(y\in R\) quel valore o quei valori di \(x\in D\) tali che \(f\left( x \right)=y\). Un valore reale può ammettere più di una o nessuna controimmagine. Mentre l’immagine di un numero reale è al più una. Diciamo che \(x\) ammette immagine se appartiene al dominio, mentre \(y\) ammette controimmagine se appartiene al codominio o insieme immagine.
Simmetrie di una funzione: funzioni pari e dispari
Una funzione \(f:A\to B\) si dice a simmetria pari se risulta simmetrica rispetto all’asse y e si ha se \(f\left( x \right)=f\left( -x \right)\,\,\,\,\,\forall x\in A\)
Una funzione si dice a simmetria dispari se risulta simmetrica rispetto all’origine degli assi e si ha se \(f\left( x \right)=-f\left( -x \right)\,\,\,\,\,\forall x\in A\)
grafico di funzione dispari
Funzioni periodiche
Una funzione si dice periodica di periodo \(T\) se \(f\left( x+T \right)=f\left( x \right)\,\,\,\,\,\forall x\in \mathbb{R}\). Se una funzione è periodica di periodo \(T\), lo è anche di qualsiasi multiplo del periodo. Per questa ragione, si definisce periodo principale, il più piccolo periodo che è possibile definire per la funzione. Più in generale si può scrivere\(f\left( x+nT \right)=f\left( x \right)\,\,\,\,\forall n\in \mathbb{Z}\,\,\forall x\in \mathbb{R}\)
grafico di funzione periodica
Una funzione periodica può essere scritta come la periodicizzazione di una funzione definita solo su un intervallo di lunghezza \(T\) . \(f\left( x \right)=\,\,\sum\limits_{n=-\infty }^{+\infty }{{{f}_{0}}\left( x+nT \right)}\) Sono esempio di funzioni periodiche, le funzioni trigonometriche. Abbiamo il seno e coseno che sono funzioni di periodo \(T=2\pi \) e la funzione tangente che invece è periodica di periodo \(T=\pi \).
Funzioni monotone
Una funzione si dice monotona strettamente crescente in \(\left[ a,b \right]\) se \(\forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left[ a,b \right]\) , se \({{x}_{2}}>{{x}_{1}}\,\Rightarrow \,f\left( {{x}_{2}} \right)>f\left( {{x}_{1}} \right)\) Una funzione si dice monotona debolmente crescente in \(\left[ a,b \right]\) se \(\forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left[ a,b \right]\) , se \({{x}_{2}}>{{x}_{1}}\,\Rightarrow \,f\left( {{x}_{2}} \right)\ge f\left( {{x}_{1}} \right)\) Una funzione si dice monotona strettamente decrescente in \(\left[ a,b \right]\) se \(\forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left[ a,b \right]\) , se \({{x}_{2}}>{{x}_{1}}\,\Rightarrow \,f\left( {{x}_{2}} \right)<f\left( {{x}_{1}} \right)\) Una funzione si dice monotona debolmente decrescente in \(\left[ a,b \right]\) se \(\forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left[ a,b \right]\) , se \({{x}_{2}}>{{x}_{1}}\,\Rightarrow \,f\left( {{x}_{2}} \right)\le f\left( {{x}_{1}} \right)\)
Funzione iniettiva
Una funzione \(f:A\to B\) si dice iniettiva se\(\forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in A,\,\,{{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}\,\,\,\Rightarrow \)\(\,\,f\left( {{x}_{1}} \right)\ne f\left( {{x}_{2}} \right)\), ovvero se ogni elemento dell’insieme di arrivo è raggiunto non più di una volta.
Funzione suriettiva
Una funzione \(f:A\to B\) si dice suriettiva se \(f\left( A \right)=B\), ovvero se ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A. Ogni elemento dell’insieme di arrivo è raggiunto almeno una volta.
rappresentazione insiemistica di funzione suriettiva (non iniettiva)
Funzione biettiva o biunivoca
Una funzione \(f:A\to B\) si dice biunivoca (o biettiva) se è sia inettiva che suriettiva. Ogni elemento dell’insieme di arrivo è raggiunto esattamente una volta.
rappresentazione insiemistica di funzione biunivoca o biettiva (quindi invertibile)
Funzione invertibile
Una funzione \(f:A\to B\) si dice invertibile se ammette funzione inversa \({{f}^{-1}}:B\to A\) . La funzione inversa è quella funzione che associa a ciascun elemento \(y\in B\) la corrispondente controimmagine in \(x\in A\), con \(x={{f}^{-1}}\left( y \right)\) . Una funzione è invertibile se ogni elemento di \(B\) ammette esattamente una controimmagine e ciò accade quando funzione è biunivoca. Quindi si può dire che una funzione è invertibile se e solo se è biunivoca.
funzione inversa
Vediamo un esempio su come si costruisce una funzione inversa: Sia \(f\left( x \right)=2+3x\) , vogliamo costruire la funzione inversa. Innanzi tutto osserviamo che la funzione in questione è una retta quindi si tratta di una funzione sia iniettiva che suriettiva, quindi biunivoca e quindi invertibile. Per costruire la funzione inversa \(y=2+3x\), dobbiamo cercare di esplicitare la funzione rispetto a y, e otteniamo \(x=\frac{y-2}{3}\) a questo punto scambiamo le x con le y \(y=\frac{x-2}{3}\) e in questo modo abbiamo costruito la funzione inversa \({{f}^{-1}}\left( x \right)=\frac{x-2}{3}\).
limitare gli insiemi per ottenere una funzione invertibile
Per determinare la funzione inversa talvolta è necessario limitare l’insieme di partenza o di arrivo in modo da rendere la funzione biunivoca. Ad esempio se si vuole invertire la funzione parabola \(y=f\left( x \right)={{x}^{2}}\) , si nota subito che la funzione \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}_{0}^{+}\) non è invertibile in quanto non è iniettiva. D’altronde si avrebbe \(x=\pm \sqrt{y}\) che non rappresenta una funzione in quanto associa a ciascun valore di \(y\) una coppia di valori, e non uno ed un solo valore.
grafico della parabola
Per renderla iniettiva possiamo limitare il dominio \(f:\mathbb{R}_{0}^{+}\to \mathbb{R}_{0}^{+}\)e in tal caso la funzione inversa diventa \(y={{f}^{-1}}\left( x \right)=+\sqrt{x}\)
Inversa della parabola ottenuta limitando il dominio della figura precedente al semiasse positivo delle x
Oppure possiamo limitare il dominio \(f:\mathbb{R}_{0}^{-}\to \mathbb{R}_{0}^{+}\)e in tal caso la funzione inversa diventa \(y={{f}^{-1}}\left( x \right)=-\sqrt{x}\)
Inversa della parabola ottenuta limitando il dominio della figura precedente al semiasse positivo delle x
Logaritmo funzione inversa dell’esponenziale
Il logaritmo, funzione inversa della funzione esponenziale L’inversa della funzione esponenziale è il logaritmo. La funzione esponenziale è così definita\(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) con \(f\left( x \right)={{e}^{x}}\). Essa non è invertibile perché è iniettiva ma non suriettiva Per renderla invertibile bisogna limitare l’insieme di arrivo e si ottiene \(f:\mathbb{R}\to {{\mathbb{R}}^{+}}\) Così la funzione inversa sarà: \({{f}^{-1}}:{{\mathbb{R}}^{+}}\to \mathbb{R}\) con\({{f}^{-1}}\left( x \right)=\ln x\)
grafico della funzione esponenziale
grafico della funzione logaritmo
Funzioni trigonometriche inverse
Arcocoseno funzione inversa del coseno
La funzione coseno è una funzione periodica quindi non è invertibile. Per definire la funzione inversa del coseno\(y=\arccos x\)bisogna limitare opportunamente gli insiemi di partenza e di arrivo della funzione in questo modo: \(f:\left[ 0,\pi \right]\to \left[ -1,1 \right]\) con \(f\left( x \right)=\cos x\) Con queste limitazioni la funzione diventa biunivoca quindi invertibile. \({{f}^{-1}}:\left[ -1,1 \right]\to \left[ 0,\pi \right]\) con\({{f}^{-1}}\left( x \right)=\arccos x\)
grafico della funzione coseno
grafico della funzione arcocoseno
Arcoseno funzione inversa del seno
– L’inversa del seno è la funzione\(\arcsin x\) . La funzione coseno è una funzione periodica quindi non è invertibile. Per definire la funzione \(\arcsin x\)bisogna limitare opportunamente gli insiemi di partenza e di arrivo della funzione in questo modo: \(f:\left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right]\to \left[ -1,1 \right]\) con \(f\left( x \right)=\cos x\) Con queste limitazioni la funzione diventa biunivoca e quindi invertibile. \({{f}^{-1}}:\left[ -1,1 \right]\to \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right]\) con\({{f}^{-1}}\left( x \right)=\arcsin x\)
grafico della funzione seno
grafico della funzione arcoseno
Arcotangente funzione inversa della tangente
– L’inversa della tangente è \(\arctan x\) . La funzione tangente è una funzione periodica quindi non è invertibile. Per definire la funzione \(\arctan x\)bisogna limitare opportunamente gli insiemi di partenza e di arrivo della funzione in questo modo: \(f:\left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right]\to \mathbb{R}\) con \(f\left( x \right)=\tan x\) Con queste limitazioni la funzione diventa biunivoca e quindi invertibile. \({{f}^{-1}}:\mathbb{R}\to \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right]\) con\({{f}^{-1}}\left( x \right)=\arctan x\)
grafico della funzione tangente
grafico della funzione arcotangente
Funzioni composte
Siano \(f:X\to Y\) e \(g:Y\to Z\)due funzioni reali, la funzione \(f\circ g:X\to Z\)è la composizione delle due funzioni. \(z=f\left( g\left( x \right) \right)\) (cioè l’argomento della \(f\) è ancora una funzione) Esempio: \(f\left( y \right)=\cos y\)e\(g\left( x \right)={{e}^{x+1}}\) La composizione tra f e g (\(f\circ g\) ) \(f\left( g\left( x \right) \right)=\cos \left( {{e}^{x+1}} \right)\) La composizione tra f e g (\(g\circ f\) ) \(g\left( f\left( x \right) \right)={{e}^{\cos x+1}}\)
Successioni reali
Le successioni sono un tipo particolare di funzioni reali che hanno come insieme di partenza i numeri naturali \({{a}_{n}}=f(n),\,\,\,\,f:\mathbb{N}\to \mathbb{R}\). A volte le successioni vengono definite come funzioni discrete. Esiste una branca della matematica che studia come ricostruire funzioni a partire da una serie di campioni. L’operazione di ricostruire una funzione a partire dai suoi campioni prende il nome di interpolazione.
grafico di una successione reale
Talvolta vedremo che è possibile costruire un insieme reale come l’insieme immagine di una successione. L’insieme costituito da \({{\left\{ {{a}_{n}} \right\}}_{n\in \mathbb{N}}}\) è l’insieme dei valori che si ottengono dalla successione al variare di \(n\). Per esempio sia \({{a}_{n}}=\sin \left( n \right)\) , si può scrivere che\({{\left\{ {{a}_{n}} \right\}}_{n\in \mathbb{N}}}=\left\{ \sin 1,\sin 2,\sin 3,… \right\}\)