Insiemi reali

Nell’insieme dei numeri reali \(\mathbb{R}\) gli insiemi sono costituiti da valori numerici isolati e intervalli. I primi si rappresentano per elenco (ad esempio \(A=\left\{ 1,2,\sqrt{2} \right\}\) è un insieme che contiene 3 valori numerici) oppure per proprietà (ad esempio \(A=\left\{ x\in \mathbb{R}|\,\,x=\frac{2n}{2+n},\,\,n\in \mathbb{N} \right\}\) è l’insieme dei numeri reali \(x\) che possono essere scritti nella forma \(x=\frac{2n}{2+n}\), dove \(n\) è un qualunque numero naturale). Gli intervalli invece sono definiti come segue:

Intervalli chiusi

\(A=[2,3]\) è l’insieme di tutti i numeri reali compresi (estremi inclusi) tra due e tre. E quindi anche 2 e 3 sono inclusi nell’intervallo.
Un altro modo di scriverlo è gli \(x\in \mathbb{R}\)  tali che \(2\le x\le 3\), come è rappresentato nel grafico in baso sulla retta dei reali.

insiemi reali – intervalli chiusi

Intervalli aperti

\(A=(2,3)\) è l’insieme di tutti i numeri reali compresi (estremi esclusi) tra due e tre.
Cioè gli \(x\in \mathbb{R}\)  tali che \(2<x<3\)

insiemi reali – intervalli aperti

Intervalli ne aperti né chiusi

\(A=(2,3]\)   Cioè gli \(x\in \mathbb{R}\)  tali che \(2<x\le 3\)

\(A=[2,3)\cup (5,7]\cup \{8,\,\,\,\,9.1\}\)?    Cioè gli \(x\in \mathbb{R}\)  tali che \(2\le x<3\,\,\cup \,\,5<x\le 7\)

esempio di intervallo che non è nè aperto nè chiuso

insiemi reali – intervalli ne aperti ne chiusi

Intorni

Un intorno di un punto \({{x}_{0}}\in \mathbb{R}\) è un insieme composto da un unico intervallo che contiene il punto \({{x}_{0}}\) e può contenere o meno gli estremi.

Un possibile intorno di \({{x}_{0}}=2.3\)  è l’insieme \(A=(2,3)\)? cioè un insieme composto da un unico intervallo in cui è contenuto\({{x}_{0}}\).

L’intorno è una nozione fondamentale dell’analisi matematica. Grazie agli intorni è possibile definire il concetto di limite, ma in senso ancora più ampio guardare la funzione in un intorno significa guardare una funzione nelle vicinanze di un punto. 

Questo induce a porci la domanda di cosa è il comportamento di una funzione, ovvero poterla analizzare e fare delle deduzioni. Questo ha degli effetti pratici nella vita quotidiana che ci pone continuamente di fronte a grafici e ci aiuta ad interpretarli meglio.

insiemi reali – intorni

Insieme complementare

Dato un insieme reale \(A\subseteq \mathbb{R}\) si definisce insieme complementare di \(A\) e si indica con \({{A}^{c}}\) quell’insieme che si ottiene per sottrazione dell’insieme dei reali con l’insieme A

insiemi reali – complementare di un insieme
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