Dimostrazione Disequazione di Bernoulli

Cosa afferma la Disequazione di Bernoulli?

La disequazione di Bernoulli sarà utilizzata successivamente nella dimostrazione dell’esistenza del limite di Nepero ed è un esempio di proprietà che può essere dimostrata con il principio di induzione.

Enunciato:$\forall x>-1,\,\forall n\in \mathbb{N}$  si ha che ${{\left( 1+x \right)}^{n}}\ge 1+nx$

E andiamo a vedere la dimostrazione disequazione di Bernoulli per induzione:

Dimostrazione Disequazione di Bernoulli (usando il principio di induzione)

Dimostriamo che la proprietà è vera per ${{n}_{0}}=0$. Allora si ha che   ${{\left( 1+x \right)}^{0}}\ge 1+0\cdot x\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,1\ge 1$ed è vero!

Poi passiamo a dimostrare il passo induttivo. Supponiamo vero${{P}_{n}}:\,\,\,{{\left( 1+x \right)}^{n}}\ge 1+nx$ , vediamo se facendo operazioni matematiche regolari si arriva a ${{P}_{n+1}}$ , e se ci riusciamo allora abbiamo dimostrato che la proprietà è vera.

Moltiplichiamo per $\left( 1+x \right)$ entrambi i membri della disequazione e si ottiene $\left( 1+x \right){{\left( 1+x \right)}^{n}}\ge \left( 1+x \right)\left( 1+nx \right)$. Osserviamo che il verso della disequazione non cambia essendo $1+x>0$ vista l’ipotesi che $x>-1$.

Riscritta meglio diventa ${{\left( 1+x \right)}^{n+1}}\ge 1+x+nx+n{{x}^{2}}$.

A questo punto possiamo osservare che $n{{x}^{2}}\ge 0$ essendo il prodotto tra numeri positivi.

Allora $1+x+nx+n{{x}^{2}}\ge 1+x+nx$ e quindi si ottiene ${{\left( 1+x \right)}^{n+1}}\ge 1+\left( 1+n \right)x$ raccogliendo una $x$, e quest’ultima espressione corrisponde proprio a ${{P}_{n+1}}$ e quindi abbiamo dimostrato il passo induttivo.

L’analisi matematica è la base teorica e ti da gli strumenti di calcolo per realizzare qualsiasi opera ingegneristica.

Capire a fondo questa materia ti permette di capire molto più approfonditamente discipline complicate ed usarle per realizzare progetti che hai in mente.