Teorema sulla limitatezza delle successioni convergenti

Enunciato del Teorema sulla limitatezza delle successioni convergenti

Il teorema afferma che: ogni successione convergente è limitata

Cosa si intende per successioni limitate?

Una successione si dice superiormente limitata se:

$$\exists M\in \mathbb{R} : {{a}_{n}}<M\,\,\forall n\in \mathbb{N}$$
Una successione si dice inferiormente limitata se:

$$\exists M\in \mathbb{R} : {{a}_{n}}>M\,\,\forall n\in \mathbb{N}$$
Definizione di successione limitata: Una successione si dice limitata se ammette sia limite superiore che inferiore.

Una successione è limitata se :

$$\exists M>0 : \left| {{a}_{n}} \right|<M,\,\,\forall n\in \mathbb{N}$$

Piccola osservazione:

Non vale il viceversa del teorema, cioè se una successione è limitata non è detto che ammette limite. Ad esempio la successione ${{a}_{n}}=\sin n$ non ammette limite ma è limitata tra -1 e 1.

Dimostrazione del Teorema sulla limitatezza delle successioni convergenti

Ipotesi:

la successione è convergente a $l$ numero reale finito:

$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=l$

Tesi:

La successione è limitata, ovvero:

$\exists M>0$ tale che $\left| {{a}_{n}} \right|<M,\,\,\forall n\in \mathbb{N}$

Dimostrazione:

Partiamo dall’ipotesi $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=l$, e riscriviamo il limite usando la definizione formale:

 $\forall \varepsilon >0\,\exists k\in \mathbb{N}:$$\,l-\varepsilon <{{a}_{n}}<l+\varepsilon \,\forall n>k$.

A questo punto fisso un valore di $\varepsilon =\bar{\varepsilon }$.

Basandoci sulla definizione di limite possiamo dedurre che è vera la seguente espressione:

$\exists \bar{k}\in \mathbb{N}:\,l-\bar{\varepsilon }<{{a}_{n}}<l+\bar{\varepsilon }\,\forall n>\bar{k}$
e quindi:
${{a}_{n}}<l+\bar{\varepsilon }\,\,\,\,\forall n>\bar{k}$ e quindi la successione è limitata superiormente da $\bar{k}$ in poi (definitivamente).
${{a}_{n}}>l-\bar{\varepsilon }\,\,\,\,\forall n>\bar{k}$ e quindi la successione è limitata inferiormente da $\bar{k}$ in poi (definitivamente).

La successione ${{a}_{n}},\,\,n=1,..,\bar{k}$ invece contiene esattamente $\bar{k}$ elementi. Si tratta quindi di un insieme finito e quindi ammette sicuramente massimo e minimo. Infatti tra un numero finito di numeri reali c’è n’è sicuramente uno più piccolo e uno più grande di tutti.

Posso quindi concludere che la successione è limitata sia sui primi $\bar{k}$ elementi, sia su tutti i successioni.

Di conseguenza, la successione è limitata sia da $n=\bar{k}$ in poi e sia per $n=1,..,\bar{k}$, e quindi è limitata su tutto l’insieme dei numeri naturali.

Lezioni di Analisi Matematica