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Enunciato del Teorema sull’esistenza del limite delle successioni monotone
Enunciato del teorema sull’esistenza del limite delle successioni monotone: Se una successione è monotona crescente allora il limite esiste e coincide con l’estremo superiore della successione. Se invece è monotona decrescente allora il limite esiste e coincide con l’estremo inferiore della successione.
Osservazione: la monotonia è una condizione sufficiente affinché il limite esista, ed esso può essere un numero oppure infinito.
Dimostrazione del Teorema sull’esistenza del limite delle successioni monotone
Per dimostrare il teorema sull’esistenza del limite delle successioni monotone: Assumiamo che la successione monotona crescente \({{a}_{n+1}}\ge {{a}_{n}}\,\,\forall n\in \mathbb{N}\)
Dimostreremo che sicuramente l’estremo superiore esiste, ed esso può essere finito \(\sup {{a}_{n}}=M\in \mathbb{R}\) oppure infinito \(\sup {{a}_{n}}=+\infty \) e coincide con il limite (anch’esso esiste per il teorema di esistenza del limite delle successioni monotone).
La dimostrazione poi può essere estesa banalmente anche al caso di successione decrescente.
Dimostriamo il caso finito:
$$\sup {{a}_{n}}=M\in \mathbb{R}$$
Equivale a scrivere che
$$\forall \varepsilon >0\,\exists \bar{n}\in \mathbb{N}\, : M-\varepsilon <{{a}_{{\bar{n}}}}\le M$$
Considerando però che la successione è monotona crescente \({{a}_{n}}>{{a}_{{\bar{n}}}}\) \(\forall n>\bar{n}\) . Possiamo concludere che è possibile aggiungere \(\forall n>\bar{n}\)nella definizione di estremo superiore e si arriva a scrivere
$$\forall \varepsilon >0\,\exists \bar{n}\in \mathbb{N}\,: M-\varepsilon <{{a}_{{\bar{n}}}}\le M\,\,\,\forall n>\bar{n}$$
che corrisponde con la definizione di limite.
E possiamo concludere che poiché, per ipotesi, \(\sup {{a}_{n}}=M\in \mathbb{R}\) e la successione è monotona crescente, allora:
$$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=\sup {{a}_{n}}=M$$
Ora dimostriamo il caso infinito:
$$\sup {{a}_{n}}=+\infty $$
Equivale a scrivere che
$$\forall M>0\,\exists \bar{n}\in \mathbb{N}\,{{a}_{{\bar{n}}}}>M$$
Considerando però che la successione è monotona crescente \({{a}_{n}}>{{a}_{{\bar{n}}}}\) \(\forall n>\bar{n}\) . Possiamo concludere che è possibile aggiungere \(\forall n>\bar{n}\)nella definizione di estremo superiore e si arriva a scrivere
$$\forall M>0\,\exists \bar{n}\in \mathbb{N}\,{{a}_{{\bar{n}}}}>M\,\,\forall n>\bar{n}$$
che corrisponde con la definizione di limite.
E possiamo concludere che poiché, per ipotesi, \(\sup {{a}_{n}}=+\infty \) e la successione è monotona crescente, allora:
$$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=\sup {{a}_{n}}=+\infty $$