Limiti di successioni

Limiti di successioni

Capire a fondo il concetto di limite è un passo importante nell’analisi matematica ed un concetto fondamentale per l’intera matematica. I limiti sono concettualmente molto complessi e la comprensione profonda di questo strumento matematico passa attraverso la capacità dello studente di unificare i vari teoremi che li caratterizzano (Limiti notevoli, il cambio di variabile nei limiti, De L’Hospital, Polinomi di Taylor, Sviluppi di McLaurin, La gerarchia degli infiniti, l’o piccolo, l’asintotico e tutti i simboli di Landau). In realtà tutti i concetti sono strettamente collegati tra loro e capirne il nesso permette di andare oltre quella che è la semplice applicazione di regole mnemoniche. 

In genere nell’analisi matematica si parte dal definire i limiti di successioni (i limiti nel discreto) per poi generalizzare al concetto di limiti di funzioni reali (i limiti nel continuo). Attraverso i limiti si aggiunge alla matematica il concetto di indefinitamente grande (ovvero l’infinito) e dell’indefinitamente piccolo (l’infinitesimo).

Il concetto dei limiti è alla base di quasi tutta l’analisi matematica ed è un concetto che ricorre praticamente in ogni argomento. Le serie numeriche ad esempio non sono altro che il limite di una successione (la successione delle somme parziali) e si caratterizzano attraverso un’analisi asintotica (limiti). Quando si studiano le funzioni si calcolano i limiti ai bordi del dominio per determinarne gli asintoti (orizzontali, verticali e obliqui) ed è possibile fare delle considerazioni sulle concavità locali delle funzioni analizzando alcuni tipi di limiti (negli esami di analisi matematica più complicati questo tipo di studio è necessario per rispondere a determinati quesiti). Quando si parla di convergenza di un integrale o limitatezza di una funzione i limiti risultano uno strumento indispensabile. Ogni volta che si parla del continuo si fa riferimento al concetto di limite.

Il cuore dell’analisi matematica è costituito dai limiti, e grazie alle mie ripetizioni di analisi matematica potrai comprenderli a fondo, e imparerai non soltanto a calcolare qualsiasi limite (anche quelli che possono sembrarti più complicati) ma imparerai anche a fare tutte le possibili deduzioni e quindi ad interpretarli. Questo sarà un concetto che resterà per sempre nella tua mente di futuro ingegnere, matematico, economista..

Ma ora entriamo più nel vivo dell’argomento ed introduciamo i limiti di successioni.

Cosa sono i limiti di successioni? Prima di rispondere a questa domanda proviamo ad immaginare di voler misurare l’area di un cerchio. Per fare ciò cominciamo ad inscriverci poligoni aggiungendo sempre nuovi vertici lungo la circonferenza, come mostrato in figura.

 

Limiti di successioni - l'area del cerchio approssimata con un poligono inscritto di infiniti lati

Limiti di successioni – l’area del cerchio approssimata con un poligono inscritto di infiniti lati

Ad ogni misurazione vedremo valori dell’area sempre più grandi ma comunque sempre inferiori rispetto all’area della circonferenza. Non arriveremo mai a costruire un poligono che coincida esattamente con la circonferenza, ma possiamo dire che \(\pi {{R}^{2}}\) è il valore limite per l’area dei poligoni inscritti.

Proviamo a dividere un intervallo a metà infinite volte

Prendiamo ora un intervallo, ad esempio \(\left[ 0,\,1 \right]\), troviamo il punto medio dell’intervallo \(\frac{1}{2}\) e costruiamone uno nuovo che va dal punto appena trovato all’estremo superiore di quello di partenza  \(\left[ \frac{1}{2},1 \right]\) . A questo punto ripetiamo l’operazione, troviamo il punto medio \(\frac{3}{4}\) e costruiamo un nuovo intervallo \(\left[ \frac{3}{4},1 \right]\) . Se ripetiamo l’operazione un numero elevato di volte vedremo questo intervallo diventare piccolissimo. Infatti ad ogni passaggio l’ampiezza si dimezza. Ora rappresentiamo la sequenza di valori che si ottengono aggiornando ad ogni passaggio l’estremo inferiore dell’intervallo: \(\left\{ 0,\frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{7}{8},.. \right\}\). Si tratta di una sequenza di valori che si avvicinano sempre più ad 1 ma non ci arrivano mai esattamente. Possiamo dire che la successione al limite vale 1. Posto \({{a}_{0}}=0\) , \({{a}_{1}}=\frac{1}{2}\) , \({{a}_{2}}=\frac{3}{4}\) , e così via, si può affermare che questa successione tende a 1 e si scrive \({{a}_{n}}\to 1\) oppure \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\,\,{{a}_{n}}=1\) .

Sequenza di potenze di 2

Prendiamo ora una sequenza composta da tutte le potenze di due: \(\left\{ 1,2,4,8,16,32,64,128,.. \right\}\). Si osserva in questo caso un comportamento diverso, perché questa volta i valori tendono a diventare indefinitamente grandi. In questo caso si può dire che la successione tende ad infinito e si scrive \({{a}_{n}}\to \infty \) oppure \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\,\,{{a}_{n}}=\infty \).
Insomma in poche parole possiamo dire che il limite rappresenta il comportamento di una successione per valori grandi.

Diamo ora una definizione formale di limite di una successione.
In realtà esistono due definizioni, a seconda del tipo di comportamento.

Limite di una successione che tende ad un valore finito

Sia \({{a}_{n}}\) una successione reale, dire che \(l\in \mathbb{R}\) è il limite della successione, ovvero \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=l\in \mathbb{R}\) equivale a dire che \(\forall \varepsilon >0\)\(\,\exists k\in \mathbb{N}:  \)  \(l-\varepsilon <{{a}_{n}}<l+\varepsilon \,\)\(\forall n>k\).
Per ogni epsilon, anche piccolissimo esiste un \(k\) abbastanza grande per cui tutti gli elementi della successione successivi al k-esimo avranno valori compresi nell’intervallo\(\left( l-\varepsilon ,l+\varepsilon  \right)\).

Concetto di limite di una successione che tende a un valore finito nel piano cartesiano

limite di una successione che tende a un valore finito

A volte la definizione la si trova scritta nella forma
\(\forall \varepsilon >0\,\exists k\in \mathbb{N}:\,\left| {{a}_{n}}-l \right|<\varepsilon \,\,\forall n>k\)

Scrivere \(\left| {{a}_{n}}-l \right|<\varepsilon \,\) e \(l-\varepsilon <{{a}_{n}}<l+\varepsilon \)è la stessa cosa. Infatti da una scrittura all’altra si passa con dei semplici passaggi di matematica. D’altronde la scrittura \(\left| {{a}_{n}}-l \right|<\varepsilon \,\)equivale a dire che la distanza tra \({{a}_{n}}\) e \(l\) è inferiore ad \(\varepsilon \).

Una successione che tende a un limite finito \(l\in \mathbb{R}\)  si dice convergente a \(l\)  .

Esercizio teorico

Proviamo a verificare con la definizione il limite \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n}=0\) .
Dobbiamo dimostrare che è verificata la definizione \(\forall \varepsilon >0\,\exists k\in \mathbb{N}:\)\(\,0-\varepsilon <\frac{1}{n}<0+\varepsilon \,\)\(\forall n>k\)
Per prima cosa \(\frac{1}{n}>-\varepsilon \) sempre perché un numero positivo è sempre maggiore di uno negativo.
Resta da verificare che fissato \(\varepsilon \) trovo sempre un valore \(k\) dipendente da \(\varepsilon \) per cui \(\frac{1}{n}<\varepsilon \) per ogni \(n\) successivo a quel valore di \(k\). E osservando che \(\frac{1}{n}<\varepsilon \,\,\Rightarrow \,\,n>\frac{1}{\varepsilon }\)allora basta porre \(k=\left\lceil \frac{1}{\varepsilon } \right\rceil \) , ovvero il numero intero più vicino a\(\frac{1}{\varepsilon }\) tra quelli maggiori o uguali ad \(\frac{1}{\varepsilon }\) perché la definizione sia verificata.
La successione si avvicina indefinitamente a zero. Se scelgo ad esempio\(\varepsilon =0.001\) , posso osservare che per tutti i valori di \(n\) successivi al 1000-esimo la successione assume valori inferiori a \(\varepsilon =0.001\), ovvero \(\frac{1}{1001},\frac{1}{1002},…\)

Limite di una successione che tende ad un valore infinito

Sia \({{a}_{n}}\) una successione reale, dire che \(+\infty \) è il limite della successione, ovvero\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=+\infty \) equivale a dire che \(\forall M>0\,\exists k\in \mathbb{N}:\,{{a}_{n}}>M\,\forall n>k\).
Per ogni valore di \(M\), anche grandissimo esiste un \(k\) abbastanza grande per cui tutti gli elementi della successione successivi al k-esimo saranno più grandi di \(M\).

Rappresentazione grafica di una successione che tende ad infinito

limite di una successione che tende a infinito

In maniera molto simile possiamo definire che limite fa meno infinito. Sia \({{a}_{n}}\) una successione reale, dire che \(-\infty \) è il limite della successione, ovvero\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=-\infty \) equivale a dire che \(\forall M<0\,\exists k\in \mathbb{N}:\,{{a}_{n}}<M\,\forall n>k\).

Lezioni di Analisi Matematica


Autore: Ing. Casparriello Marco

Lezioni di matematica e fisica a cura di Marco Casparriello.