Teorema di unicità dell’estremo superiore (dimostrazione)

Dimarco casparriello

Teorema di unicità dell’estremo superiore (dimostrazione)

TEOREMA DI UNICITÀ DELL’ESTREMO SUPERIORE (DIMOSTRAZIONE)

Dimostrazione per assurdo del teorema di unicità dell’estremo superiore di un insieme reale. Il teorema afferma che:

Se un insieme ammette estremi reali, allora essi sono unici, e quindi un insieme non può ammettere due o più estremi superiori o inferiori.

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Dimostrazione.

Questo teorema si dimostra per assurdo. Vedremo la dimostrazione nel caso dell’estremo superiore, ma vale allo stesso modo anche per quello inferiore.
Partiamo quindi con la negazione della tesi e quindi assumiamo che l’insieme ammette due valori diversi per l’estremo superiore diversi tra loro e cioè \({{L}_{1}}=\sup A\) , \({{L}_{2}}=\sup A\) e \({{L}_{2}}>{{L}_{1}}\) .
A questo punto riscriviamo la definizione di estremo superiore due volte:

\({{L}_{1}}=\sup A\)\(\Leftrightarrow \) \(\forall \varepsilon >0\,\exists {{x}_{1}}\in A\,|\,\,\,\,{{x}_{1}}>{{L}_{1}}-\varepsilon \)
\({{L}_{2}}=\sup A\)\(\Leftrightarrow \) \(\forall \varepsilon >0\,\exists {{x}_{2}}\in A\,|\,\,\,\,{{x}_{2}}>{{L}_{2}}-\varepsilon \)

Inoltre poiché \({{L}_{1}}\) e \({{L}_{2}}\)sono maggioranti posso anche scrivere che \({{L}_{2}}\ge {{x}_{1}}\) e  \({{L}_{1}}\ge {{x}_{2}}\)

Mettendo insieme tutte queste condizioni posso scrivere il sistema

\(\left\{ \begin{align}
& {{L}_{2}}\ge {{x}_{1}}>{{L}_{1}}-\varepsilon  \\
& {{L}_{1}}\ge {{x}_{2}}>{{L}_{2}}-\varepsilon  \\
\end{align} \right.\) \(\Rightarrow \) \(\left\{ \begin{align}
& {{L}_{2}}>{{L}_{1}}-\varepsilon  \\
& {{L}_{1}}>{{L}_{2}}-\varepsilon  \\
\end{align} \right.\)\(\Rightarrow \)\(\left\{ \begin{align}
& {{L}_{2}}-{{L}_{1}}>-\varepsilon  \\
& {{L}_{1}}-{{L}_{2}}>-\varepsilon  \\
\end{align} \right.\)\(\Rightarrow \)\(\left\{ \begin{align}
& {{L}_{2}}-{{L}_{1}}>-\varepsilon  \\
& {{L}_{2}}-{{L}_{1}}<\varepsilon  \\
\end{align} \right.\)\(\Rightarrow \)

\(-\varepsilon <{{L}_{2}}-{{L}_{1}}<\varepsilon \)
Poiché questa disequazione deve essere verificata \(\forall \varepsilon >0\) , l’unica scelta che rende vera la disequazione è \({{L}_{1}}={{L}_{2}}\) , arrivando alla contraddizione che nega l’assunzione iniziale e quindi il teorema risulta dimostrato.

 

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marco casparriello administrator

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