Per dimostrare che l’insieme delle soluzioni di un’equazione differenziale omogenea lineare di ordine $n$ forma uno spazio vettoriale di dimensione $n$, e che la soluzione omogenea è una combinazione lineare degli $n$ elementi della base, dobbiamo considerare due parti principali: la struttura dello spazio vettoriale delle soluzioni e come le soluzioni specifiche vengono costruite dalle radici del polinomio caratteristico.

Struttura dello Spazio Vettoriale della Soluzione omogenea equazione differenziale ordinaria

Consideriamo un’equazione differenziale lineare omogenea di ordine $n$:

$ a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \ldots + a_1 y’ + a_0 y = 0 $

dove $y^{(k)}$ denota la $k$-esima derivata di $y$ rispetto a $t$, e $a_k$ sono coefficienti costanti.

1. Chiusura rispetto alla somma: Se $u(t)$ e $v(t)$ sono soluzioni, allora anche $u(t) + v(t)$ è una soluzione. Questo deriva direttamente dalla linearità dell’operatore differenziale:

$ L(u+v) = L(u) + L(v) = 0 + 0 = 0 $

2. Chiusura rispetto alla moltiplicazione per scalari: Se $u(t)$ è una soluzione e $\lambda$ è uno scalare, allora $\lambda u(t)$ è anch’essa una soluzione:

$ L(\lambda u) = \lambda L(u) = \lambda \cdot 0 = 0 $

Queste proprietà mostrano che l’insieme delle soluzioni forma uno spazio vettoriale.

Base delle Soluzioni e Dimensione

Il polinomio caratteristico associato all’equazione è:

$ p(\lambda) = a_n \lambda^n + a_{n-1} \lambda^{n-1} + \ldots + a_1 \lambda + a_0 $

Per il teorema fondamentale dell’algebra, questo polinomio ha esattamente $n$ radici in $\mathbb{C}$ (considerando le molteplicità).

Ogni radice del polinomio caratteristico corrisponde a una soluzione dell’equazione differenziale, e la forma della soluzione dipende dal tipo di radice:

Radici Reali: Ogni radice reale $\lambda$ di molteplicità $k$ genera $k$ funzioni linearmente indipendenti nel set delle soluzioni.

Radici Complesse Coniugate: Ogni coppia di radici complesse coniugate $\alpha \pm j\beta$ di molteplicità $k$ genera $2k$ funzioni linearmente indipendenti nel set delle soluzioni, esprimibili in termini di seni e coseni (o esponenziali complesse).

La soluzione generale dell’equazione omogenea è la combinazione lineare di tutte queste funzioni base, ognuna moltiplicata per un coefficiente arbitrario:

$ x(t) = c_1 x_1(t) + c_2 x_2(t) + \ldots + c_n x_n(t) $

dove $x_i(t)$ sono le funzioni base e $c_i$ sono costanti arbitrarie.

Dimostrazione della Dimensione

La dimensione dello spazio vettoriale delle soluzioni è il numero di costanti arbitrarie necessarie per esprimere la soluzione generale, che corrisponde al grado $n$ del polinomio caratteristico. Ciò implica che lo spazio delle soluzioni è di dimensione $n$, con una base formata da $n$ funzioni linearmente indipendenti derivate dalle radici del polinomio caratteristico.

In conclusione, la struttura dello spazio delle soluzioni e il metodo per costruire le soluzioni dalle radici del polinomio caratteristico dimostrano che l’insieme delle soluzioni di un’equazione differenziale omogenea lineare forma uno spazio vettoriale di dimensione $n$, e che la soluzione generale è una combinazione lineare di $n$ elementi della base.

Per dimostrare che ogni radice del polinomio caratteristico di un’equazione differenziale lineare omogenea genera un certo numero di funzioni linearmente indipendenti che fanno parte della soluzione dell’equazione, bisogna considerare due casi separati: le radici reali e le coppie di radici complesse coniugate.

Radici Reali

Quando il polinomio caratteristico di un’equazione differenziale lineare omogenea ha una radice reale $\lambda$ con molteplicità $k$, ciò significa che l’equazione differenziale può essere associata a un operatore differenziale la cui equazione caratteristica è $(D – \lambda)^k y = 0$, dove $D$ è l’operatore di derivazione rispetto a $t$.

La teoria delle equazioni differenziali lineari ci dice che per ogni radice $\lambda$ di molteplicità $k$, le funzioni $e^{\lambda t}$, $te^{\lambda t}$, $\ldots$, $t^{k-1}e^{\lambda t}$ sono soluzioni dell’equazione differenziale. Queste funzioni sono linearmente indipendenti perché il loro wronskiano (un determinante usato per testare l’indipendenza lineare di un set di funzioni) è non nullo per ogni scelta di $t$. Pertanto, una radice reale di molteplicità $k$ genera $k$ soluzioni linearmente indipendenti.

Radici Complesse Coniugate

Se il polinomio caratteristico ha una coppia di radici complesse coniugate $\alpha \pm j\beta$ con molteplicità $k$, allora per ogni radice complessa $\lambda = \alpha + j\beta$ (e la sua coniugata $\bar{\lambda} = \alpha – j\beta$), l’equazione differenziale associata è $(D – \lambda)^k(D – \bar{\lambda})^k y = 0$.

Applicando la teoria delle equazioni differenziali, le soluzioni associate a queste radici complesse possono essere espresse in termini di esponenziali complessi, ma per avere soluzioni reali (dato che le equazioni differenziali in questione sono solitamente a coefficienti reali), le combiniamo in seni e coseni tramite la formula di Eulero $e^{jt} = \cos(t) + j\sin(t)$.

Questo porta alle soluzioni della forma $e^{\alpha t}\cos(\beta t)$, $e^{\alpha t}\sin(\beta t)$, $te^{\alpha t}\cos(\beta t)$, $te^{\alpha t}\sin(\beta t)$, $\ldots$, $t^{k-1}e^{\alpha t}\cos(\beta t)$, $t^{k-1}e^{\alpha t}\sin(\beta t)$ per ogni coppia di radici complesse coniugate. Queste funzioni sono linearmente indipendenti per lo stesso motivo delle radici reali: il loro wronskiano è non nullo.

Conclusione sulla soluzione omogenea equazione differenziale ordinaria

In conclusione, la presenza di radici reali o coppie di radici complesse coniugate nel polinomio caratteristico di un’equazione differenziale lineare omogenea porta a un insieme di funzioni soluzione che sono linearmente indipendenti. Queste funzioni formano una base per lo spazio delle soluzioni dell’equazione differenziale, il cui numero corrisponde al grado del polinomio caratteristico, confermando che lo spazio delle soluzioni è uno spazio vettoriale di dimensione $n$ quando l’equazione differenziale è di ordine $n$.