Coniugato di un numero complesso

Coniugato di un numero complesso

Il coniugato di un numero complesso è quel numero che ha la stessa parte reale e parte immaginaria opposta in segno.

\(z=a+ib\) \(\Rightarrow \) \(\bar{z}=a-ib\)

Inoltre come si può dedurre dalla rappresentazione sul piano di Gauss, il coniugato di un numero complesso si trova sulla stessa circonferenza. Questo vuol dire che ha lo stesso modulo, cioè la stessa distanza dall’origine, ma osservando che si trova dalla parte opposta, l’angolo misurato rispetto al semiasse positivo dei reali, ovvero il suo argomento è opposto.

\(z=\rho \,{{e}^{i\theta }}\) \(\Rightarrow \) \(\bar{z}=\rho \,{{e}^{-i\theta }}\)

Soluzioni complesse e coniugate

Un equazione di secondo grado come è ben noto dalle scuole superiori, ammette soluzioni solo se il delta è positivo o nullo \( \Delta=\sqrt{b^2-4ac} \geq 0\)

Le soluzioni di un’equazione di secondo grado con delta negativo sono complesse e coniugate.

Prendiamo ad esempio la seguente equazione \({{z}^{2}}+z+1=0\), e notiamo subito che \(\Delta =-3\).

A questo punto applichiamo la nota formula risolutiva per equazioni di secondo grado.

\({{z}_{1,2}}=\frac{-1\pm \sqrt{-3}}{2}=-\frac{1}{2}\pm \sqrt{-1}\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Ricordando che l’unità immaginaria \(i=\sqrt{-1}\) Si ha che

\({{z}_{1}}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\({{z}_{2}}=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\)

e come si può osservare le soluzioni sono complesse e coniugate perché hanno la stessa parte reale e parte immaginaria uguale e contraria.

Alcune formule utili

Dato un generico numero complesso \(z=a+i b\) vediamo a questo punto alcune formule che possono tornare utili. La prima permette di calcolare il modulo di un numero complesso in maniera alternativa alla classica formula che passa per il teorema di pitagora \(z=\sqrt{a^2+b^2}\). La formula che restituisce il modulo quadro di un numero complesso è:

\(z\cdot \bar{z}=\left | z \right |^{2}\)

Questa si può dimostrare facilmente usando la rappresentazione esponenziale e notando che la somma degli esponenti è nulla. \(z\cdot \bar{z}=\rho e^{i \theta}\cdot \rho e^{-i \theta}=\rho^2\)

Vediamo invece due formule che restituiscono seno e coseno.

\(cos \theta=\frac{z+\bar{z}}{2}\)

\(sin\theta=\frac{z-\bar{z}}{2i}\)

Queste ultime invece si dimostrano rappresentando il numero complesso nella forma trigonometrica.