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Coefficiente binomiale e binomio di Newton
In questa sezione vediamo la definizione di coefficiente binomiale e dimostrazione binomio di Newton.
Iniziamo con una definizione, cioè il coefficiente binomiale:
\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n – k)!}\]
Questo coefficiente è usato nel calcolo combinatorio per calcolare il numero di combinazioni che si possono avere di n oggetti presi k alla volta.
Sicuramente avrete sentito parlare del triangolo di Tartaglia per ottenere la potenza n-esima di un generico binomio \({{\left( a+b \right)}^{N}}\) .
Vediamo ad esempio che attraverso questo schema posso scrivere
\({{\left( a+b \right)}^{0}}=1\) ,
\({{\left( a+b \right)}^{1}}=a+b\) ,
\({{\left( a+b \right)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}\) ,
\({{\left( a+b \right)}^{3}}={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}\) ,
\({{\left( a+b \right)}^{4}}={{a}^{4}}+4{{a}^{3}}b+\)\(6{{a}^{2}}{{b}^{2}}+4a{{b}^{3}}+{{b}^{4}}\) e così via..
Un modo più elegante e comodo per ottenere lo stesso risultato e sfruttarlo in dimostrazioni successive è la formula del binomio di Newton:
$$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^k b^{n-k}$$
Formula del Binomio di Pascal (Teorema del triangolo di Pascal)
Per dimostrare il binomio di Newton, useremo il principio di induzione, ma nei passaggi ad un certo punto andremo ad utilizzare questa proprietà che vale per i coefficienti binomiali, che prende il nome di binomio di Pascal , La formula è nota come il “teorema del triangolo di Pascal“:
\[ \binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k} \]
Dimostrazione della formula del Binomio di Pascal
Partiamo dalla formula dei coefficienti binomiali:
$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$
Possiamo utilizzare questa formula per dimostrare la relazione $ \binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k} $ riscrivendo i coefficienti binomiali in termini di fattoriali.
Iniziamo esprimendo il coefficiente binomiale $\binom{n}{k+1}$ in termini di fattoriali:
$$\binom{n}{k+1} = \frac{n!}{(k+1)!(n-(k+1))!} = \frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}$$
Ora, possiamo riscrivere la somma dei due coefficienti binomiali in termini di fattoriali e otteniamo la somma di due frazioni:
$$\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \frac{n!}{k!(n-k)!} + \frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}$$
Per sommare queste due espressioni, dobbiamo trovare un denominatore comune. Moltiplichiamo la prima frazione per $ \frac{k+1}{k+1} $ e la seconda per $ \frac{n-k}{n-k} $:
$$= \frac{n!(k+1)}{(k+1)!(n-k)!} + \frac{n!(n-k)}{(k+1)!(n-k)!}$$
Ora, unendo le frazioni, otteniamo:
$$= \frac{n!(k+1) + n!(n-k)}{(k+1)!(n-k)!}$$
$$= \frac{n!(k+1+n-k)}{(k+1)!(n-k)!}$$
$$= \frac{n!(n+1)}{(k+1)!(n-k)!}$$
$$= \frac{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!}$$
$$= \binom{n+1}{k}$$
Dimostrazione Binomio di Newton
A questo punto passiamo alla Dimostrazione binomio di Newton e gli ingredienti di cui avremo bisogno sono il principio di induzione e la formula del binomio di Pascal
Per dimostrare la validità della formula tramite il principio di induzione, procediamo come segue:
Base dell’induzione \(n = 0\):
Dobbiamo dimostrare che la formula è vera per \( n = 0 \). Consideriamo \( (a + b)^0 \):
$$ (a + b)^0 = 1 $$
Ora, utilizziamo la formula della sommatoria per \( n = 0 \):
$$\sum_{k=0}^{0} \binom{0}{k} a^k b^{0-k} = \binom{0}{0} a^0 b^0 = \frac{0!}{0!} \cdot a^0 \cdot b^0 = 1$$
Quindi la base dell’induzione è verificata per \( n = 0 \).
Passo induttivo:
Supponiamo che la formula sia vera per un certo valore \( n = m \), cioè:
$$(a + b)^m = \sum_{k=0}^{m} \binom{m}{k} a^k b^{m-k}$$
Ora dimostriamo che la formula è vera per \( n = m + 1 \):
$$(a + b)^{m+1} = (a + b)(a + b)^m$$
Utilizzando la distributività della moltiplicazione rispetto all’addizione, otteniamo:
$$(a + b)(a + b)^m = a(a + b)^m + b(a + b)^m$$
Ora applichiamo l’ipotesi induttiva alla prima e seconda parte dell’equazione:
$$= a \sum_{k=0}^{m} \binom{m}{k} a^k b^{m-k} + b \sum_{k=0}^{m} \binom{m}{k} a^k b^{m-k}$$
Ora possiamo fattorizzare ( a ) e ( b ) rispettivamente:
$$= \sum_{k=0}^{m} \binom{m}{k} a^{k+1} b^{m-k} + \sum_{k=0}^{m} \binom{m}{k} a^k b^{m+1-k}$$
Ora, uniamo le due sommatorie in una sola:
$$= \sum_{k=0}^{m} \left( \binom{m}{k} a^{k+1} b^{m-k} + \binom{m}{k} a^k b^{m+1-k} \right)$$
\[ = \sum_{k=0}^{m} \left( \binom{m}{k+1} + \binom{m}{k} \right) a^k b^{m+1-k} \]
Ora, possiamo applicare la proprietà del binomio di Pascal \(\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k}\):
$$= \sum_{k=0}^{m} \binom{m+1}{k} a^k b^{m+1-k}$$
$$= \sum_{k=0}^{m+1} \binom{m}{k} a^k b^{m-k}$$
Quindi abbiamo dimostrato che la formula è vera per $n = m + 1$ .
Poiché abbiamo dimostrato che la formula è vera per $n = 0$ e che se è vera per un certo valore $n = m$, allora è vera anche per $n = m + 1$, possiamo concludere che la formula è vera per tutti i valori non negativi di $ n $ per induzione matematica.