Rappresentazione dei numeri complessi

Rappresentazione dei numeri complessi

I numeri complessi possono essere rappresentati nella forma algebrica, forma esponenziale e forma trigonometrica. E’ sempre possibile passare da una rappresentazione all’altra. C’è da osservare che la forma esponenziale e quella trigonometrica sono molto simili tra loro, e in generale quella più semplice ed intuitiva è la forma esponenziale, mentre quella algebrica è la forma base da cui si parte e a cui si arriva in genere.

Con i trucchi che potrei insegnarti grazie alle mie ripetizioni di analisi matematica risparmierai molto tempo durante le prove d’esame e potrai puntare al massimo dei voti!

Forma algebrica

\(z=a+ib\) nota \(a,b\in \mathbb{R}\)

Forma esponenziale

\(z=\rho \,{{e}^{i\theta }}\,\,,\,\,\rho >0\,\,,\,\,\,\theta \in \left[ 0,2\pi  \right]\)

Forma trigonometrica

\(z=\rho \cos \theta +i\rho \sin \theta \)

forma trigonometrica dei numeri complessi

forma trigonometrica dei numeri complessi

Forma trigonometrica e forma esponenziale sono legati dalla definizione di esponenziale complesso

\({{e}^{i\,\theta }}\doteq \,\cos \theta +i\sin \theta \)

Formule di Eulero per esprimere seno e coseno

La forma esponenziale e quella trigonometrica sono legate dalla formula di Eulero che si dimostra attraverso la definizione di esponenziale complesso.

\(\cos \theta =\frac{{{e}^{i\theta }}+{{e}^{-i\theta }}}{2}\) \(\sin \theta =\frac{{{e}^{i\theta }}-{{e}^{-i\theta }}}{2i}\)

Dimostrazione

\({{e}^{i\,\theta }}\doteq \,\cos \theta +i\sin \theta \)

Il coseno è una funzione pari, mentre il seno è una funzione dispari:

\({{e}^{-i\,\theta }}=\,\cos \left( -\theta  \right)+i\sin \left( -\theta  \right)=\)\(\cos \left( \theta  \right)-i\sin \left( \theta  \right)\)

Da cui:

\({{e}^{i\,\theta }}+{{e}^{-i\,\theta }}=\)\(\cos \theta +i\sin \theta +\cos \theta -i\sin \theta =2\cos \theta \)

\({{e}^{i\,\theta }}-{{e}^{-i\,\theta }}=\)\(\cos \theta +i\sin \theta -\cos \theta +i\sin \theta =2i\sin \theta \)

Passaggio da una rappresentazione all’altra

E’ sempre possibile passare da una forma all’altra.

Dalla forma algebrica alla forma esponenziale o trigonometrica

Per passare dalla forma algebrica a quella esponenziale o trigonometrica bisogna trovare modulo che è dato da \(\rho =\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\)  e argomento che è dato da \(\arg z=\theta =\arctan \frac{b}{a}\) se \(a>0\) , e \(\arg z=\theta =\arctan \frac{b}{a}+\pi \)se \(a<0\).

L’arcotangente è definita solo tra \(\left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right]\)  e non è una funzione invertibile sull’intera circonferenza trigonometrica.

Per intenderci basti osservare che gli argomenti dei numeri complessi \({{z}_{1}}=1+i\) e \({{z}_{2}}=-1-i\)  hanno la stessa tangente infatti \(\tan {{\theta }_{1}}=\frac{{{b}_{1}}}{{{a}_{1}}}=\frac{1}{1}=1\) e \(\tan {{\theta }_{2}}=\frac{{{b}_{2}}}{{{a}_{2}}}=\frac{-1}{-1}=1\)   .
Si osserva però che se andiamo a disegnare i due numeri complessi nel piano di Gauss, tra\({{\theta }_{1}}\)e \({{\theta }_{2}}\)c’è una differenza di \(\pi \).

Questo è il motivo per cui non basta calcolare l’arcotangente ma è necessario aggiungere \( \pi \) se a<0

Dalla forma esponenziale alla forma algebrica

Dalla forma esponenziale è possibile tornare alla forma algebrica scrivendolo prima in forma trigonometrica e poi calcolando espicitamente i seni e i coseni. Naturalmente questa operazione è molto più immediata e si fa molto rapidamente soprattutto se si tratta di angoli per cui sono noti i valori di seno e coseno, altrimenti è possibile fare uso della calcolatrice.

Ad esempio se \(z=3\cdot e^{i \pi/6}\), allora in forma trigonometrica diventa \( z=3\cdot \left ( cos\left ( \pi/6 \right ) + i\cdot sin\left ( \pi/6 \right )\right )\) che a sua volta in forma algebrica vale \( z=3\cdot \left ( \frac{\sqrt{3}}{2} + i\cdot \frac{1}{2}\right )\)

Lezioni di Analisi Matematica


Autore: Ing. Casparriello Marco

Lezioni di matematica e fisica a cura di Marco Casparriello.