Il teorema afferma che ogni successione convergente è limitata
Successioni limitate
Una successione si dice superiormente limitata se \(\exists M\in \mathbb{R}\)tale che\({{a}_{n}}<M\,\,\forall n\in \mathbb{N}\).
Una successione si dice inferiormente limitata se \(\exists M\in \mathbb{R}\)tale che\({{a}_{n}}>M\,\,\forall n\in \mathbb{N}\).
Definizione di successione limitata: Una successione si dice limitata se ammette sia limite superiore che inferiore.
Una successione è limitata se \(\exists M>0\)tale che \(\left| {{a}_{n}} \right|<M,\,\,\forall n\in \mathbb{N}\)
Osservazione
Non vale il viceversa del teorema, cioè se una successione è limitata non è detto che ammette limite. Ad esempio\({{a}_{n}}=\sin n\) non ammette limite ma è limitata tra -1 e 1.
Dimostrazione
Ipotesi: la successione è convergente \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=l\)
Tesi: La successione è limitata, ovvero \(\exists M>0\) tale che \(\left| {{a}_{n}} \right|<M,\,\,\forall n\in \mathbb{N}\).
Partiamo dalla tesi \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=l\), riscriviamo la definizione di limite \(\forall \varepsilon >0\,\exists k\in \mathbb{N}:\)\(\,l-\varepsilon <{{a}_{n}}<l+\varepsilon \,\forall n>k\).
A questo punto fisso un valore di \(\varepsilon =\bar{\varepsilon }\). Allora possiamo dire che \(\exists \bar{k}\in \mathbb{N}:\,l-\bar{\varepsilon }<{{a}_{n}}<l+\bar{\varepsilon }\,\forall n>\bar{k}\)
e quindi:
\({{a}_{n}}<l+\bar{\varepsilon }\,\,\,\,\forall n>\bar{k}\)e quindi la successione è limitata superiormente da\(\bar{k}\) in poi.
\({{a}_{n}}<l-\bar{\varepsilon }\,\,\,\,\forall n>\bar{k}\)e quindi la successione è limitata inferiormente da\(\bar{k}\) in poi.
La successione \({{a}_{n}},\,\,n=1,..,\bar{k}\) invece contiene esattamente \(\bar{k}\) elementi. Si tratta quindi di un insieme finito e quindi ammette sicuramente massimo e minimo. Infatti tra un numero finito di numeri reali c’è n’è sicuramente uno più piccolo e uno più grande di tutti.
Posso concludere che la successione è limitata sia da \(n=\bar{k}\) in poi e sia per \(n=1,..,\bar{k}\), e quindi è limitata su tutto l’insieme dei numeri naturali.
