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Unità immaginaria
L’unità immaginaria i è definita come quel numero che moltiplicato per se stesso da -1. Siccome non esiste nessun numero reale che rispetta questa proprietà allora si introduce un numero immaginario che non esiste nel mondo reale.
\(i=\sqrt{-1}\)
Vediamo subito un esempio:
\({{x}^{2}}+3=0\,\,\,\Rightarrow \,\,\,{{x}^{2}}=-3\,\,\,\)\(\Rightarrow \,\,x=\pm \sqrt{-3}\) impossibile
Nel mondo dei numeri reali questa equazione appena vista non ammette soluzioni. Introducendo l’unità immaginaria è possibile proseguire, infatti:
\(x=\pm \sqrt{-3}=\pm \sqrt{-1}\sqrt{3}=\pm \sqrt{3}\,\,i\)
Insieme dei numeri complessi
L’insieme dei numeri complessi si denota con \(\mathbb{C}\) ed è formato da valori numerici composti da una parte reale e una parte immaginaria \(\mathbb{C}=\left\{ z=x+iy\,|\,x,y\in \mathbb{R} \right\}\). Nel mondo dei numeri complessi sono consentite operazioni che nei reali risultano impossibili (tipo la radice o il logaritmo di un numero negativo) e permettono di estendere il dominio delle funzioni reali.
Ad esempio un’equazione di secondo grado con delta negativo, in ambito complesso ammette ben due soluzioni:
\({{x}_{1,2}}=\frac{-b\pm i\sqrt{-\Delta }}{2a}\)
Quindi se voglio risolvere
\({{x}^{2}}-\sqrt{3}\,x\,+1\,\,\,\)\(\Rightarrow \,\,\,\Delta =3-4=-1<0\)\(\,\,\,{{x}_{1,2}}=\frac{-\sqrt{3}\pm i\sqrt{1}}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\pm i\frac{1}{2}\)
Sapevi che tutto il mondo dell’elettronica e svariate applicazioni dell’ingegneria sono possibili solo grazie all’esistenza dei numeri complessi?
Questo perché operazioni matematiche in generale difficoltose come derivate ed integrali, in ambito complesso diventano delle semplici moltiplicazioni e questo permette di trattare cose molto complicate come le equazioni differenziali come dei semplici sistemi lineari.
Il piano di gauss
Il piano di gauss è un diagramma cartesiano sul quale è possibile rappresentare i numeri complessi come vettori del piano, ponendo in ascissa la parte reale e in ordinata la parte immaginaria del numero.
\({{z}_{0}}={{x}_{0}}+i{{y}_{0}}\)
Parte reale e parte immaginaria
Sia \(z=a+ib\) un numero complesso
Parte reale e parte immaginaria di un numero complesso sono due operatori che restituiscono rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria del numero. Da osservare che sia la parte reale che la parte immaginaria sono entrambi numeri reali.
Parte reale \(\operatorname{Re}z=a\in \mathbb{R}\)
Parte immaginaria \(\operatorname{Im}z=b\in \mathbb{R}\)
Esempio
Guardiamo subito un esempio: dato \(z=2-3i\) si ha che \(\operatorname{Re}z=2\) , \(\operatorname{Im}z=-3\)
Modulo e argomento di un numero complesso
Sia \(z=a+ib\) un numero complesso, il modulo e l’argomento di un numero complesso rappresentano nel piano di Gauss rispettivamente la lunghezza del vettore z (che può essere calcolata attraverso il teorema di Pitagora) e l’angolo formato dal vettore con il semiasse positivo delle x (positivo se misurato girando in senso antiorario, negativo se misurato ruotando in senso orario).
Il modulo in formule è dato da \(\left| z \right|=\rho =\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\) , mentre l’argomento è dato da \(\arg z=\theta =\arctan \frac{b}{a}\) se \(a>0\) , e \(\arg z=\theta =\arctan \frac{b}{a}+\pi \) se \(a<0\).
Vediamo subito un esempio: dato \(z=2+2\sqrt{3}i\) , si ha che il modulo vale \(\left| z \right|=\rho =\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( 2\sqrt{3} \right)}^{2}}}=\)\(\sqrt{4+12}=4\) , mentre l’argomento vale \(\arg z=\theta =\arctan \frac{2\sqrt{3}}{2}=\)\(\arctan \sqrt{3}=\frac{\pi }{3}\)