Archivio degli autori marco casparriello

Esercizi su insiemi reali (topologia dell’asse dei reali)

ESERCIZI SU INSIEMI REALI 

In questo video svolgo due esercizi relativi agli insiemi reali. In particolare dati due esempi di insiemi, mostro come trovare i relativi insiemi dei punti di accumulazione, punti isolati, punti di frontiera, estremi superiori ed inferiori, limitatezza inferiore e superiore, massimo e minimo (se esistono) e dire se gli insiemi sono aperti o chiusi.

Segui il video fino e fondo, metti mi piace al video e iscriviti al canale.

scarica il pdf della lezione

alcune regole che É bene ricordare
  • i punti di accumulazione sono tutti quei punti in cui l’insieme diventa denso, cioè se costruisco un intorno del punto, comunque piccolo lo prendo, vedo sempre un insieme di infiniti punti.
  • un insieme non sempre ammette massimo e minimo, ma quando essi esistono coincidono con gli estremi superiore ed inferiore rispettivamente.
  • il massimo di un insieme esiste quando tra tutti gli elementi dell’insieme è possibile individuare un elemento più grande di tutti.
  • i punti isolati non sono punti di accumulazione, perchè esiste un intervallo finito che li separa dagli altri elementi dell’insieme.
  • i punti interni si trovano soltanto all’inerno degli intervalli.

dato un insieme reale:

Dimostrazione che √2 é un numero irrazionale

  2  É UN NUMERO IRRAZIONALE

In questa lezione vediamo che √2 è un numero irrazionale. La dimostrazione è per assurdo, negando la tesi che è irrazionale. Si ipotizza che esso è un numero razionale e si arriva ad un assurdo.

\(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\) . Se \(m\) e \(n\) sono primi tra loro, lo sarebbero anche \(\frac{{{m}^{2}}}{{{n}^{2}}}=\frac{m}{n}\cdot \frac{m}{n}\) visto che nella frazione ottenuta non si può semplificare niente, e quindi anche \({{m}^{2}}\) e \({{n}^{2}}\) dovrebbero essere primi fra loro. Poiché però \[{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}={{\left( \frac{m}{n} \right)}^{2}}\,\Rightarrow \,\,\,\,\frac{{{m}^{2}}}{{{n}^{2}}}=2\,\,\,\Rightarrow \,\,\,{{m}^{2}}=2{{n}^{2}}\], si avrebbe che \({{m}^{2}}\) è il doppio di \({{n}^{2}}\)andando a negare che sono primi tra loro e quindi si arriva alla contraddizione. Quindi è assurdo negare la tesi e quindi la tesi è vera!

Quindi come abbiamo visto non tutti i numeri possono essere scritti come frazioni. A questo insieme appartengono tutti i numeri che prendono il nome di numeri irrazionali e tra questi ricordiamo il pi greco \(\pi =3.14\), il numero di Nepero \(e=2.71828\).

Determinante di una matrice di qualsiasi ordine

In questa lezione parliamo di come si calcola un determinante nel modo più veloce possibile, facendo pochi calcoli. Segui la lezione fino in fondo per capire come applicare in maniera efficace le varie tecniche di calcolo.

La lezione è divisa in varie parti.

Nella parte iniziale faccio un accenno alla teoria sulle definizioni di determinante e il collegamento con le varie regole per il calcolo, poi entro nel vivo e tratto ciascuna tecnica con degli esempi opportunamente scelti.

  • Determinante di una matrice nel caso 2×2.
  • Determinante di una matrice nel caso 3×3 e regola di Sarrus.
  • Teorema di Laplace: tecnica ricorsiva per calcolare un determinante di una matrice di ordine qualunque.
  • Determinante di una matrice triangolare.
  • Algoritmo di Gauss, che permette di combinare opportunamente le colonne/righe senza modificarne il determinante. Alla fine dell’algoritmo ci si trova con una matrice triangolare, in cui il determinante può essere calcolato molto semplicemente.

Se ci si trova di fronte a una matrice di ordine superiore al terzo (ad esempio una 4×4 o addirittura una 5×5) la tecnica migliore è combinare opportunamente l’algoritmo di Gauss con la regola di Laplace. Guarda il video fino in fondo per capire come fare.

scarica il pdf della lezione

Note sulla lezione

La lezione si concentra molto sull’aspetto pratico del calcolo. Per quanto concerne i dettagli relativi a come vanno interpretate le definizioni, le varie dimostrazioni che collegano le varie regole e teoremi, si rimanda ad altre videolezioni.

Un ruolo fondamentale riveste il teorema di esistenza e unicità, legato alla definizione assiomatica, dal quale si deduce che esiste ed è unica la funzione determinante ed ha un espressione algebrica che è valida per un determinante di qualunque ordine. Una persona potrebbe chiedersi perchè esiste una definizione generale per il determinante, ma non si applica e si preferisce utilizzare delle regole. La risposta è molto semplice ed è legata alla complessità della formula che aumenta come n!, il che comporterebbe una mole di calcoli eccessiva, specie durante un esame di algebra in cui il tempo a disposizione è limitato.

Insiemi di numeri

INSIEMI DI NUMERI

Prima di entrare nel vivo della materia è bene fare una presentazione degli insiemi di numeri su cui si opera e a partire dai quali si costruisce tutta l’analisi matematica. Ecco l’elenco dei principali insiemi numerici:

\(\mathbb{N}=\{0,1,2,3,…\}\) denota l’insieme dei numeri naturali.
\(\mathbb{Z}=\{..,-3,-2,-1,0,1,2,3,..\}\)è l’insieme dei numeri relativi
\(\mathbb{Q}=\{\pm \frac{m}{n},\,\,con\,\,m\in \mathbb{N},n\in \mathbb{N}\}\)è l’insieme dei numeri razionali
\(\mathbb{R}\) è l’insieme dei numeri reali. Due sottoinsiemi di esso sono: \({{\mathbb{R}}^{+}}\)insieme dei numeri reali positivi escluso lo zero e \(\mathbb{R}_{0}^{+}\) che include lo zero.

Ripetizioni di Analisi Matematica con Skype o Hangouts

Ripetizioni di Analisi Matematica svolte da un docente che saprà sciogliere ogni tuo dubbio e aiutarti anche nelle situazioni più complesse!

\(\mathbb{C}=\left\{ z=x+i\,y;\,\,\,\,x,y\in \mathbb{R} \right\}\,\,\)è l’insieme dei numeri complessi. Questo insieme è un estensione dei numeri reali e si costruisce a partire da essi introducendo l’unità immaginaria \(i=\sqrt{-1}\) e che vedremo nel dettaglio più avanti.

Si osserva che tra gli insiemi numerici vale la seguente relazione: \(\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}\).

I numeri naturali sono tutti i relativi con il segno positivo. I numeri relativi possono essere visti come numeri razionali ponendo \(n=1\) al denominatore oppure come frazioni dove il numeratore è multiplo del denominatore. Una riflessione va fatta per quanto riguarda la relazione tra numeri razionali e reali.
Qualsiasi numero con un numero finito di cifre dopo la virgola può essere scritto come frazione, ovvero come numero razionale. Poniamoci a questo punto una domanda: tutti i numeri possono essere scritti come numeri razionali?
Per rispondere a questa domanda basta trovare un controesempio, cioè un numero che non può essere scritto come frazione. L’esempio in questione è il numero \(\sqrt{2}\), e a questo punto andiamo a dimostrarlo per assurdo.
Come prima cosa bisogna negare la tesi, quindi per assurdo assumiamo che \(\sqrt{2}\)può essere scritto come il rapporto tra due numeri primi tra loro (se non lo fossero basterebbe semplificare).


Autore: ing. Casparriello Marco

Lezioni di matematica e fisica a cura di Marco Casparriello.

test di ingegneria 2017 – date e come prepararsi

Manca pochissimo al test di ingegneria 2017 CISIA, fissata per il giorno 4 settembre alle ore 10. Ma anche gli atenei che non aderiscono al consorzio svolgeranno la prova di ammissione a settembre. Provare a fare la simulazione test di ingegneria 2017 è un’ottima scelta per arrivare preparati.

L’esame è obbligatorio in quasi tutti gli atenei italiani, anche se in alcuni casi ha solo valore orientativo. Ciò vuol dire che, pur non passandolo, si potrà ugualmente iscrivere al corso di laurea prescelto, portandosi dietro dei debiti formativi, i cosiddetti OFA, da colmare entro il primo anno.

Come prepararsi al test di ingegneria 2017

La simulazione del test di ingegneria 2017 è un modo per aiutare i ragazzi che spesso incontrano difficoltà nella preparazione a questo genere di test di ingresso, poiché le università decidono in autonomia contenuti e composizione della prova, a differenza di quelle facoltà ad accesso programmato dove è il Ministero a decidere. Alcuni atenei, tuttavia, si affidano al consorzio CISIA, che redige la stessa prova e stabilisce anche un’unica data.

Test ammissione test di Ingegneria 2017: tanti corsi, un solo test

Prepararsi al test di ingegneria 2017  significa provare a fare un test ingegneria che può valere per ognuno dei tanti corsi di laurea della sua classe. Ad esempio può valere come una simulazione test ingegneria meccanica, o come simulazione test ingegneria gestionale, o addirittura come simulazione test ingegneria informatica.

Simulazione test ingresso Ingegneria

Sei pronto per svolgere la simulazione test ingegneria online utili per prepararsi al test di ingegneria 2017? Anche se il tempo a disposizione è deciso dalla singola università, in genere dovrete riuscire a impiegare poco più di un minuto a quiz. Siete pronti a testare il vostro livello di preparazione? Vi basterà svolgere la simulazione test ingegneria online che segue. In bocca al lupo!

 

Test Medicina 2017 – informazioni utili

Il giorno del test medicina 2017 si avvicina. Il Miur pubblicherà poi nel pomeriggio i quesiti e le rispettive soluzioni. Nel frattempo ecco un quadro completo e dettagliato sui test ingresso 2017.

Leggi tutto

sciopero dei professori – quali sono le ragioni?

sciopero dei professori

sciopero dei professori

Lo sciopero dei professori universitari programmato per il prossimo settembre – con la sospensione degli esami di profitto nella sessione autunnale – sta suscitando giustamente molte polemiche perché interpretato come una rivendicazione di lavoratori privilegiati, con stipendi elevati. Leggi tutto