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Teorema del differenziale totale in due variabili
Per una funzione $ f: A \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} $, il teorema del differenziale totale afferma che, se le derivate parziali ${f’_x}(x, y)$ e ${f’_y}(x, y)$ esistono in ogni punto $(x, y)$ di un aperto $A$, e se queste derivate parziali sono continue in un punto $P_0 = (x_0, y_0)$, allora possiamo concludere che la funzione $f$ è differenziabile in $P_0$.
La differenziabilità di una funzione in un punto implica che la funzione può essere approssimata linearmente nei dintorni di quel punto. Questo significa che il comportamento della funzione vicino a $P_0$ può essere descritto da un piano tangente, il cui coefficiente angolare è dato dalle derivate parziali di $f$ in $P_0$.
Formalmente, se $f$ è differenziabile in $P_0$, allora esiste una funzione lineare $L(\mathbf{v}) = a v_1 + b v_2$ tale che:
$\lim_{{\|\mathbf{v}\| \to 0}} \frac{f(\mathbf{P_0} + \mathbf{v}) – f(\mathbf{P_0}) – L(\mathbf{v})}{\|\mathbf{v}\|} = 0$
dove $\mathbf{v} = (v_1, v_2)$ è un vettore di variazione da $P_0$ e $\|\mathbf{v}\|$ indica la norma euclidea di $\mathbf{v}$. In questo contesto, $a$ e $b$ sono le derivate parziali di $f$ rispetto a $x$ e $y$ in $P_0$, ovvero $a = {f’_x}(x_0, y_0)$ e $b = {f’_y}(x_0, y_0)$.
La continuità delle derivate parziali in $P_0$ garantisce che la variazione del piano tangente (descritto dalla funzione lineare $L$) rispetto a variazioni infinitesime nel punto $P_0$ sia un buon approssimante del comportamento della funzione stessa in quel punto, rendendo $f$ differenziabile in $P_0$. Questo ha implicazioni importanti nell’analisi e nella modellazione di fenomeni reali, dove le proprietà di differenziabilità e continuità delle derivate parziali permettono di applicare metodi del calcolo differenziale per esplorare comportamenti locali delle funzioni.
Dimostrazione informale del teorema del differenziale totale nel caso di funzione di due variabili
Per dimostrare formalmente che la continuità delle derivate parziali di una funzione $ f:A\subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} $ in un punto $ P_0 = (x_0, y_0) $ implica la differenziabilità di $ f $ in quel punto, possiamo seguire una linea di ragionamento basata sulla definizione di differenziabilità e sul concetto di approssimazione lineare. Tuttavia, va notato che questa è una dimostrazione che coinvolge concetti matematici avanzati, quindi la terrò il più accessibile possibile.
Definizione di Differenziabilità
Una funzione $ f $ è differenziabile in $ P_0 = (x_0, y_0) $ se esiste un’approssimazione lineare $ L(\mathbf{h}) $, dove $ \mathbf{h} = (h_1, h_2) $, tale che:
$f(x_0 + h_1, y_0 + h_2) = f(x_0, y_0) + L(\mathbf{h}) + \epsilon(\mathbf{h})$
dove $ \epsilon(\mathbf{h}) $ è un errore tale che $ \lim_{\|\mathbf{h}\| \to 0} \frac{\epsilon(\mathbf{h})}{\|\mathbf{h}\|} = 0 $. $ L(\mathbf{h}) $ è tipicamente della forma $ a h_1 + b h_2 $, dove $ a = f’_x(x_0, y_0) $ e $ b = f’_y(x_0, y_0) $.
Passi della Dimostrazione
1. Approssimazione Lineare: Si consideri l’approssimazione lineare di $ f $ vicino a $ P_0 $ data da $ L(\mathbf{h}) = f’_x(x_0, y_0) h_1 + f’_y(x_0, y_0) h_2 $.
2. Errore di Approssimazione: Definiamo l’errore dell’approssimazione come $ \epsilon(\mathbf{h}) = f(x_0 + h_1, y_0 + h_2) – f(x_0, y_0) – L(\mathbf{h}) $.
3. Continuità delle Derivate Parziali: L’ipotesi chiave è che le derivate parziali $ f’_x $ e $ f’_y $ sono continue in $ P_0 $. Questo significa che per variazioni piccole $ h_1 $ e $ h_2 $, le variazioni delle derivate parziali sono anch’esse piccole.
4. Limite dell’Errore Normalizzato: Per mostrare la differenziabilità, dobbiamo dimostrare che:
$\lim_{\|\mathbf{h}\| \to 0} \frac{\epsilon(\mathbf{h})}{\|\mathbf{h}\|} = 0$
Utilizzando il Teorema del Valore Medio per funzioni di più variabili e sfruttando la continuità delle derivate parziali, possiamo effettivamente mostrare che $ \epsilon(\mathbf{h}) $ cresce più lentamente di $ \|\mathbf{h}\| $ mentre $ \mathbf{h} $ si avvicina a $ \mathbf{0} $. Questo è possibile perché la continuità delle derivate parziali assicura che le variazioni in $ f $ rispetto a piccole variazioni in $ \mathbf{h} $ possano essere controllate e previste.
5. Conclusione: Dato che possiamo trovare un’approssimazione lineare $ L(\mathbf{h}) $ tale che l’errore $ \epsilon(\mathbf{h}) $ soddisfa la condizione sopra, concludiamo che $ f $ è differenziabile in $ P_0 $.
Questa dimostrazione è concettualmente in linea con i principi del calcolo differenziale. La continuità delle derivate parziali gioca un ruolo cruciale perché garantisce che l’approssimazione lineare rappresenti fedelmente il comportamento locale di $ f $ vicino a $ P_0 $, rendendo l’errore $ \epsilon(\mathbf{h}) $ trascurabile per piccoli $ \mathbf{h} $.
Dimostrazione rigorosa del teorema del differenziale totale per funzioni di due variabili
La dimostrazione formale che la continuità delle derivate parziali implica la differenziabilità di una funzione $f: A \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ in un punto $P_0 = (x_0, y_0)$ richiede l’utilizzo di alcuni concetti e risultati avanzati del calcolo differenziale multivariato. Procediamo passo dopo passo.
Premessa
Sia $f: A \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ una funzione per cui esistono le derivate parziali $\frac{\partial f}{\partial x}$ e $\frac{\partial f}{\partial y}$ in ogni punto $(x, y) \in A$, e queste derivate parziali sono continue in $P_0 = (x_0, y_0)$.
Obiettivo
Dimostrare che $f$ è differenziabile in $P_0$, cioè, esiste un’approssimazione lineare $L(h_1, h_2) = a h_1 + b h_2$ tale che
dove $a = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)$ e $b = \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)$.
Dimostrazione
1. Espressione per $L$: Per la differenziabilità di $f$ in $P_0$, definiamo $L(h_1, h_2) = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) h_1 + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) h_2$.
2. Definizione dell’Errore: Sia
$\epsilon(h_1, h_2) = f(x_0 + h_1, y_0 + h_2) – f(x_0, y_0) – L(h_1, h_2)$
Dobbiamo dimostrare che $ \epsilon(h_1, h_2) / \sqrt{h_1^2 + h_2^2} \to 0 $ come $ (h_1, h_2) \to (0, 0) $.
3. Utilizzo del Teorema di Incremento Totale: Applicando il teorema di incremento totale (anche conosciuto come teorema del valor medio per funzioni di più variabili) a $f$, possiamo scrivere l’incremento di $f$ come
$f(x_0 + h_1, y_0 + h_2) – f(x_0, y_0) = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0 + \theta_1 h_1, y_0 + \theta_1 h_2) h_1 + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0 + \theta_2 h_1, y_0 + \theta_2 h_2) h_2$
dove $0 < \theta_1, \theta_2 < 1$.
4. Differenza tra le Derivate Parziali e i loro Valori in $P_0$: La continuità delle derivate parziali ci assicura che
$\lim_{(h_1, h_2) \to (0, 0)} \frac{\partial f}{\partial x}(x_0 + \theta_1 h_1, y_0 + \theta_1 h_2) = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)$
e analogamente per $\frac{\partial f}{\partial y}$.
5. Conclusione: Usando i limiti sopra e la definizione di $\epsilon(h_1, h_2)$, abbiamo che per $(h_1, h_2) \to (0, 0)$,
$\epsilon(h_1, h_2) = ( \frac{\partial f}{\partial x}(x_0 + \theta_1 h_1, y_0 + \theta_1 h_2) – \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) )\cdot h_1 + ( \frac{\partial f}{\partial y}(x_0 + \theta_2 h_1, y_0 + \theta_2 h_2) – \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) ) \cdot h_2$
poiché le differenze tra le derivate parziali e i loro valori in $P_0$ tendono a zero (per la continuità), e $h_1, h_2$ sono anch’essi prossimi a zero, il rapporto $\epsilon(h_1, h_2) / \sqrt{h_1^2 + h_2^2}$ tende anch’esso a zero.
Questo completa la dimostrazione che la continuità delle derivate parziali di $f$ in $P_0$ implica che $f$ è differenziabile in $P_0$.
Teorema dell’incremento totale
Il teorema dell’incremento totale, noto anche come teorema del valore medio per funzioni di più variabili, è un’estensione del teorema del valore medio del calcolo differenziale a funzioni di più variabili. Fornisce una relazione importante tra il gradiente di una funzione e la variazione del suo valore tra due punti. Esistono diverse formulazioni di questo teorema, a seconda del contesto e della specificità delle funzioni trattate (ad esempio, funzioni scalari o vettoriali). Qui ci concentreremo sulla versione per una funzione scalare $ f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} $.
Teorema dell’Incremento Totale (per Funzioni Scalari)
Sia $ f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} $ una funzione e sia $ \mathbf{a}, \mathbf{b} \in \mathbb{R}^n $ tali che il segmento di linea che connette $ \mathbf{a} $ e $ \mathbf{b} $ sia completamente contenuto nel dominio di $ f $. Se $ f $ è differenziabile in ogni punto del segmento di linea che connette $ \mathbf{a} $ a $ \mathbf{b} $, allora esiste almeno un punto $ \mathbf{c} $ sul segmento di linea tale che
$f(\mathbf{b}) – f(\mathbf{a}) = \nabla f(\mathbf{c}) \cdot (\mathbf{b} – \mathbf{a})$
dove $ \nabla f(\mathbf{c}) $ indica il gradiente di $ f $ calcolato in $ \mathbf{c} $, e $ \cdot $ rappresenta il prodotto scalare.
Interpretazione
Questo teorema stabilisce che la variazione del valore della funzione $ f $ tra due punti $ \mathbf{a} $ e $ \mathbf{b} $ può essere espressa come il prodotto scalare tra il gradiente di $ f $ in un certo punto $ \mathbf{c} $ tra $ \mathbf{a} $ e $ \mathbf{b} $, e la differenza vettoriale $ \mathbf{b} – \mathbf{a} $. In sostanza, il gradiente di $ f $ in $ \mathbf{c} $ fornisce la direzione e la velocità di massima crescita di $ f $, che, moltiplicata per lo spostamento $ \mathbf{b} – \mathbf{a} $, dà la variazione totale di $ f $ lungo quel segmento.
Dimostrazione del teorema del differenziale totale in R^n
Estendere la dimostrazione della differenziabilità al caso di una funzione $ f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} $ che ha derivate parziali continue in un punto richiede l’utilizzo di concetti analoghi a quelli del caso bidimensionale, ma in uno spazio multidimensionale. La notazione e alcuni passaggi diventano più complessi per gestire l’aumento delle dimensioni.
Premessa
Sia $ f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} $ una funzione tale che esistono tutte le sue derivate parziali $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ per ogni $i = 1, \dots, n$ in un aperto contenente il punto $ \mathbf{a} = (a_1, \dots, a_n) \in \mathbb{R}^n $, e supponiamo che queste derivate parziali siano continue in $ \mathbf{a} $.
Obiettivo
Dimostrare che $ f $ è differenziabile in $ \mathbf{a} $, cioè esiste un’approssimazione lineare $ L(\mathbf{h}) = \mathbf{g} \cdot \mathbf{h} $, dove $ \mathbf{g} = (\frac{\partial f}{\partial x_1}(\mathbf{a}), \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(\mathbf{a})) $ è il gradiente di $ f $ in $ \mathbf{a} $, e $ \mathbf{h} = (h_1, \dots, h_n) $, tale che
$\lim_{\|\mathbf{h}\| \to 0} \frac{|f(\mathbf{a} + \mathbf{h}) – f(\mathbf{a}) – L(\mathbf{h})|}{\|\mathbf{h}\|} = 0$
Dimostrazione
1. Definizione dell’Approssimazione Lineare: Data $ L(\mathbf{h}) = \mathbf{g} \cdot \mathbf{h} = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(\mathbf{a}) h_i $.
2. Errore di Approssimazione: Definiamo $ \epsilon(\mathbf{h}) = f(\mathbf{a} + \mathbf{h}) – f(\mathbf{a}) – L(\mathbf{h}) $. Dobbiamo mostrare che $ \epsilon(\mathbf{h}) / \|\mathbf{h}\| \to 0 $ come $ \|\mathbf{h}\| \to 0 $.
3. Uso del Teorema di Taylor: Il Teorema di Taylor per funzioni di più variabili ci permette di esprimere $ f(\mathbf{a} + \mathbf{h}) $ come $ f(\mathbf{a}) + \mathbf{g} \cdot \mathbf{h} + o(\|\mathbf{h}\|) $, dove $ o(\|\mathbf{h}\|) $ indica un termine che va a zero più velocemente di $ \|\mathbf{h}\| $ quando $ \|\mathbf{h}\| \to 0 $.
4. Analisi dell’Errore: Dato che $ \epsilon(\mathbf{h}) = o(\|\mathbf{h}\|) $, segue direttamente che $ \frac{\epsilon(\mathbf{h})}{\|\mathbf{h}\|} \to 0 $ come $ \|\mathbf{h}\| \to 0 $.
5. Conclusione: La continuità delle derivate parziali assicura che il termine $ o(\|\mathbf{h}\|) $ si comporta come previsto, e quindi $ f $ è differenziabile in $ \mathbf{a} $.
Questa dimostrazione sfrutta il fatto che la continuità delle derivate parziali e l’uso del teorema di Taylor forniscono il meccanismo per controllare l’errore dell’approssimazione lineare di $ f $ vicino al punto $ \mathbf{a} $, stabilendo la differenziabilità. Il concetto chiave qui è che l’errore tra la funzione e la sua approssimazione lineare tende a zero più rapidamente del tasso al quale ci avviciniamo al punto di interesse $ \mathbf{a} $ nello spazio $ \mathbb{R}^n $.
Teorema di Taylor
Teorema di Taylor per Funzioni di Una Variabile
Sia $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una funzione e sia $a \in \mathbb{R}$. Se $f$ è derivabile fino all’ordine $n+1$ in un intervallo che contiene $a$, allora per ogni $x$ in quell’intervallo esiste un $c$ tra $a$ e $x$ tale che
$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f”(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x)$
dove $R_n(x)$ è il termine residuo dato dalla formula
$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{(n+1)}$
e $f^{(n)}(a)$ indica la $n$-esima derivata di $f$ calcolata in $a$.
Teorema di Taylor per Funzioni di Più Variabili
Sia $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ una funzione e sia $\mathbf{a} \in \mathbb{R}^n$. Se $f$ ha derivate parziali continue fino all’ordine $n+1$ in un intorno di $\mathbf{a}$, allora per ogni $\mathbf{x}$ in quell’intorno esiste un punto $\mathbf{c}$ sulla linea che congiunge $\mathbf{a}$ e $\mathbf{x}$ tale che
$f(\mathbf{x}) = f(\mathbf{a}) + \nabla f(\mathbf{a}) \cdot (\mathbf{x}-\mathbf{a}) + \frac{1}{2}(\mathbf{x}-\mathbf{a})^T \cdot H_f(\mathbf{a}) \cdot (\mathbf{x}-\mathbf{a}) + \cdots + R_n(\mathbf{x})$
dove $H_f(\mathbf{a})$ è la matrice hessiana di $f$ in $\mathbf{a}$, che contiene tutte le derivate seconde, e $R_n(\mathbf{x})$ è il termine residuo che dipende dalle derivate di ordine superiore fino a $n+1$.
Teorema del differenziale totale e forme differenziali
Teorema del Differenziale Totale e Differenziabilità
Il teorema del differenziale totale, nel contesto della differenziabilità di una funzione $ f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} $, si focalizza sulla condizione che, se tutte le derivate parziali di $ f $ esistono in un punto e sono continue in un intorno di quel punto, allora $ f $ è differenziabile in quel punto. La differenziabilità implica che l’approssimazione lineare di $ f $, data dal suo differenziale totale, è una buona rappresentazione locale della funzione stessa.
Forme Differenziali
Le forme differenziali, d’altra parte, sono strumenti che generalizzano il concetto di differenziali a spazi di dimensione superiore, permettendo di esprimere e manipolare differenziali di funzioni e di coordinate in modo coerente e geometricamente significativo. Una forma differenziale di grado 1 in $ \mathbb{R}^n $ può essere vista come un campo che associa a ogni punto dello spazio un covettore, e il differenziale totale $ df $ di una funzione scalare $ f $ è un esempio primario di tale forma.
Il Collegamento
Il collegamento tra il teorema del differenziale totale e le forme differenziali emerge quando consideriamo il differenziale totale $ df $ di una funzione $ f $ come una 1-forma differenziale che cattura tutte le sue variazioni prime rispetto alle coordinate. In questo contesto, il teorema ci assicura che, sotto la condizione di continuità delle derivate parziali, $ df $ non solo esiste ma fornisce una rappresentazione fedele e lineare delle variazioni infinitesime di $ f $ vicino a un punto.
Il differenziale totale di una funzione $ f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} $ differenziabile, indicato con $ df $, è la 1-forma data da:
$df = \frac{\partial f}{\partial x_1} dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2} dx_2 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n} dx_n$
In termini di forme differenziali, questo significa che la 1-forma differenziale $ df $, che rappresenta il differenziale totale di $ f $, si comporta in modo coerente e prevedibile in vicinanza di punti dove $ f $ soddisfa le condizioni di differenziabilità dettate dal teorema. Questa proprietà è fondamentale in molte applicazioni, incluse l’integrazione di forme differenziali lungo curve e superfici e la formulazione di equazioni differenziali in termini di forme differenziali.
In conclusione, mentre il teorema del differenziale totale ci fornisce le condizioni sotto cui una funzione è differenziabile e il suo differenziale totale è una buona approssimazione lineare, il formalismo delle forme differenziali ci offre il linguaggio e gli strumenti per manipolare questi differenziali in modo geometricamente e analiticamente significativo.