Insiemi Numerici (Analisi Matematica)
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Insiemi di numeri
Prima di entrare nel vivo della materia è bene fare una presentazione degli insiemi di numeri su cui si opera e a partire dai quali si costruisce tutta l’analisi matematica. Ecco l’elenco dei principali insiemi numerici:
\(\mathbb{N}=\{0,1,2,3,…\}\) denota l’insieme dei numeri naturali.
\(\mathbb{Z}=\{..,-3,-2,-1,0,1,2,3,..\}\)è l’insieme dei numeri relativi
\(\mathbb{Q}=\{\pm \frac{m}{n},\,\,con\,\,m\in \mathbb{N},n\in \mathbb{N}\}\)è l’insieme dei numeri razionali
\(\mathbb{R}\) è l’insieme dei numeri reali. Due sottoinsiemi di esso sono: \({{\mathbb{R}}^{+}}\)insieme dei numeri reali positivi escluso lo zero e \(\mathbb{R}_{0}^{+}\) che include lo zero.
\(\mathbb{C}=\left\{ z=x+i\,y;\,\,\,\,x,y\in \mathbb{R} \right\}\,\,\)è l’insieme dei numeri complessi. Questo insieme è un estensione dei numeri reali e si costruisce a partire da essi introducendo l’unità immaginaria \(i=\sqrt{-1}\) e che vedremo nel dettaglio più avanti.
Si osserva che tra gli insiemi numerici vale la seguente relazione: \(\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}\).
I numeri naturali sono tutti i relativi con il segno positivo. I numeri relativi possono essere visti come numeri razionali ponendo \(n=1\) al denominatore oppure come frazioni dove il numeratore è multiplo del denominatore. Una riflessione va fatta per quanto riguarda la relazione tra numeri razionali e reali.
Qualsiasi numero con un numero finito di cifre dopo la virgola può essere scritto come frazione, ovvero come numero razionale. Poniamoci a questo punto una domanda: tutti i numeri possono essere scritti come numeri razionali?
Per rispondere a questa domanda basta trovare un controesempio, cioè un numero che non può essere scritto come frazione. L’esempio in questione è il numero \(\sqrt{2}\), e a questo punto andiamo a dimostrarlo per assurdo.
Come prima cosa bisogna negare la tesi, quindi per assurdo assumiamo che \(\sqrt{2}\)può essere scritto come il rapporto tra due numeri primi tra loro (se non lo fossero basterebbe semplificare).
Relazione tra insiemi numerici
I numeri naturali sono tutti i relativi con il segno positivo. I numeri relativi possono essere visti come numeri razionali ponendo \(n=1\) al denominatore oppure come frazioni dove il numeratore è multiplo del denominatore. Una riflessione va fatta per quanto riguarda la relazione tra numeri razionali e reali.
Qualsiasi numero con un numero finito di cifre dopo la virgola può essere scritto come frazione, ovvero come numero razionale. Poniamoci a questo punto una domanda: tutti i numeri possono essere scritti come numeri razionali?
Per rispondere a questa domanda basta trovare un controesempio, cioè un numero che non può essere scritto come frazione. L’esempio in questione è il numero \(\sqrt{2}\), e a questo punto andiamo a dimostrarlo per assurdo.
Come prima cosa bisogna negare la tesi, quindi per assurdo assumiamo che \(\sqrt{2}\)può essere scritto come il rapporto tra due numeri primi tra loro (se non lo fossero basterebbe semplificare).
Altri insiemi numerici
Abbiamo l’insieme dei numeri reali e positivi \({{\mathbb{R}}^{+}}\) , quello dei numeri reali e positivi incluso lo zero \(\mathbb{R}_{0}^{+}\). Inoltre esiste l’insieme dei numeri relativi e positivi incluso lo zero che coincide con l’insieme dei numeri naturali \(\mathbb{Z}_{0}^{+}=\mathbb{N}\) .
L’insieme dei numeri reali e negativi \({{\mathbb{R}}^{-}}\) . Insomma basta aggiungere un + in alto per indicare che sono solo i positivi, un – in alto per indicare che sono soltanto i negativi, uno zero in basso per indicare che è incluso anche lo zero.
Ad esempio l’insieme \({{\mathbb{Q}}^{+}}\) sono i numeri razionali e positivi e si ha \({{\mathbb{Q}}^{+}}=\left\{ x=\frac{m}{n},\,\,m,n\in \mathbb{N} \right\}\)
Insiemi Numerabili – Analisi Matematica
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Numerabilità di un insieme
Un insieme si dice numerabile se è possibile creare una relazione tra i numeri naturali e gli elementi dell’insieme stesso, ovvero se è possibile numerare gli elementi di tale insieme. Un insieme finito è senz’altro numerabile, mentre un insieme infinito è numerabile se è possibile stabilire una logica per cui l’n-esimo elemento dell’insieme è dato univocamente da un certo elemento.
Gli insiemi \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\) e \(\mathbb{Q}\) sono numerabili, mentre l’insieme \(\mathbb{R}\) non è numerabile.
Vediamo un esempio di come è possibile numerare l’insieme dei numeri relativi:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | … |
| 0 | -1 | 1 | -2 | 2 | 3 | … |
Vediamo invece un esempio di come è possibile numerare l’insieme dei numeri razionali \(\mathbb{Q}\) :
Soluzione di un sistema lineare al variare di k
Problema
Dire per quali valori di k il seguente sistema lineare ammette soluzione e per quei valori determinare la soluzione.
\(\left\{ \begin{align} & x-y=1 \\ & ky+z=0 \\ & 2x-kz=-1 \\ & x+y+z=-1 \\ \end{align} \right.\)
Per prima cosa andiamo a riscrivere il sistema in forma matriciale:
\(\left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & k & 1 & 0 \\ 2 & 0 & -k & -1 \\ 1 & 1 & 1 & -1 \\ \end{matrix} \right]\)
Per il teorema di Rouchè-Capelli il sistema ammette soluzione solo se il rango della matrice completa è uguale a quello della matrice incompleta. Prima di applicarlo però posso applicare il primo passo dell’algoritmo di Gauss, infatti esso non modifica il rango delle matrici in questione, ma semplicemente permette di velocizzare i calcoli sulle matrici.
\(C=\left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & k & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -k & -3 \\ 0 & 2 & 1 & -2 \\ \end{matrix} \right]\)
A questo punto diciamo che C è la matrice completa (4×4) e il suo rango è \(rk(C)\le 4\)
\(A=\left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & k & 1 \\ 0 & 2 & -k \\ 0 & 2 & 1 \\ \end{matrix} \right]\)
La matrice A è invece la matrice incompleta (4×3) e il suo rango è \(rk(A)\le 3\).
Infatti ricordiamo che il rango massimo di una matrice è pari al minimo tra righe e colonne.
La matrice C è una matrice quadrata e quindi l’unico minore di ordine 4 è dato dalla matrice stessa. Pertanto si ha che \(rk(C)=4\) se e solo se \(\det (C)\ne 0\).
Poiché \(rk(A)\le 3\), se \(rk(C)=4\), allora \(rk(A)\ne rk(C)\)e per il teorema di Rouchè-Capelli, sotto queste ipotesi il sistema non ammette soluzione.
\(\det C=\det \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & k & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -k & -3 \\ 0 & 2 & 1 & -2 \ \end{matrix} \right]\)
Applicando il teorema di Laplace sulla prima colonna si ha che
\(\det C=\det \left[ \begin{matrix} k & 1 & 0 \\ 2 & -k & -3 \\ 2 & 1 & -2 \\ \end{matrix} \right]\)
A questo punto dalla regola di Sarrus ottengo che il determinante di C è un polinomio di secondo grado
\(\det C=2{{k}^{2}}+3k-2=0\)
Esso si annulla se \(k=\frac{1}{2}\) e \(k=-2\)
Quindi possiamo già dire che il sistema sicuramente non ammette soluzione se \(k\ne \frac{1}{2}\) e \(k\ne -2\) . Per gli altri casi invece non possiamo dire nulla e li studiamo a parte.
Iniziamo da \(k=\frac{1}{2}\) e sostituiamolo nella matrice.
\(\det C=\det \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -\frac{1}{2} & -3 \\ 0 & 2 & 1 & -2 \\ \end{matrix} \right]\)
Sappiamo che in questo caso\(rk(C)<4\) e andiamo a verificare se il rango della matrice completa e incompleta risultano in questo caso entrambi pari a 3. Per fare ciò prendiamo un minore di ordine 3 comune sia alla matrice incompleta che a quella completa e calcoliamone il determinante.
\(\det \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & 2 & -\frac{1}{2} \\ \end{matrix} \right]\) \(=\det \left[ \begin{matrix} \frac{1}{2} & 1 \\ 2 & -\frac{1}{2} \\ \end{matrix} \right]=-\frac{9}{4}\ne 0\)
Abbiamo trovato un minore di ordine 3 comune alla matrice A ed alla matrice C con determinante non nullo. Possiamo pertanto concludere che per il teorema di Rouchè-Capelli, il sistema ammette soluzione ed andiamo a trovarla proseguendo con l’algoritmo di Gauss.
\(\left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -\frac{1}{2} & -3 \\ 0 & 2 & 1 & -2 \\ \end{matrix} \right]\) \(\to \) \(\left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 4 & -1 & -6 \\ 0 & 2 & 1 & -2 \\ \end{matrix} \right]\) \(\to \) \(\left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -9 & -6 \\ 0 & 0 & -3 & -2 \\ \end{matrix} \right]\)
La terza e la quarta riga sono linearmente dipendenti, quindi una delle due posso eliminarla (ad esempio la terza) e riscrivo il sistema ottenuto
\(\left\{ \begin{align} & x-y=1 \\ & y+2z=0 \\ & -3z=-2 \\ \end{align} \right.\)
Da cui si ottiene la soluzione:
\(\left\{ \begin{align} & x=-\frac{1}{3} \\ & y=-\frac{4}{3} \\ & z=\frac{2}{3} \\ \end{align} \right.\)
Passiamo ora al caso \(k=-2\) e sostituiamolo nella matrice.
\(\det C=\det \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & -3 \\ 0 & 2 & 1 & -2 \\ \end{matrix} \right]\)
Sappiamo che in questo caso\(rk(C)<4\) e andiamo a verificare se il rango della matrice completa e incompleta risultano in questo caso entrambi pari a 3. Per fare ciò prendiamo un minore di ordine 3 comune sia alla matrice incompleta che a quella completa e calcoliamone il determinante.
\(\det \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ \end{matrix} \right]\) \(=\det \left[ \begin{matrix} -2 & 1 \\ 2 & 2 \\ \end{matrix} \right]=-4-2\ne 0\)
Abbiamo trovato un minore di ordine 3 comune alla matrice A ed alla matrice C con determinante non nullo. Possiamo pertanto concludere che per il teorema di Rouchè-Capelli, il sistema ammette soluzione ed andiamo a trovarla proseguendo con l’algoritmo di Gauss.
\(\left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & -3 \\ 0 & 2 & 1 & -2 \\ \end{matrix} \right]\) \(\to \) \(\left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & -3 \\ 0 & 0 & 2 & -2 \\ \end{matrix} \right]\)
La terza e la quarta riga sono linearmente dipendenti, quindi una delle due posso eliminarla (ad esempio la terza) e riscrivo il sistema ottenuto
\(\left\{ \begin{align} & x-y=1 \\ & -2y+z=0 \\ & 2z=-2 \\ \end{align} \right.\)
Da cui si ottiene la soluzione:
\(\left\{ \begin{align} & x=\frac{3}{2} \\ & y=\frac{1}{2} \\ & z=-1 \\ \end{align} \right.\)
Algoritmo di gauss – Soluzione di sistemi lineari
algoritmo di gauss – soluzione di sistemi lineari
In questa videolezione vediamo come applicare l’algoritmo di Gauss per risolvere sistemi lineari
esercizio
Risolvere il seguente sistema lineare:
\( \left\{\begin{align}& x+y+2z+3t=1\\& 3x-y-z-2t=-4\\& 2x+3y-z-t=-6\\& x+2y+3z-t=-4\\\end{align}\right. \)
Svolgimento
Svolgimento
In questi passaggi l’algoritmo di Gauss per ottenere una matrice triangolare superiore combinando e scambiando opportunamente le righe della matrice. Guarda il video per i dettagli dello svolgimento. Ricordo che la rappresentazione matriciale del sistema ha il semplice scopo di velocizzare le scritture. I passaggi che portano alla risoluzione del sistema prendono il nome di mosse di Gauss.
\(\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 2 & 3 & 1 \\ 3 & -1 & -1 & -2 & -4 \\ 2 & 3 & -1 & -1 & -6 \\ 1 & 2 & 3 & -1 & -4 \\ \end{matrix} \right]\) \(\left[\begin{matrix} 1 & 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & -4 & -7 & -11 & -7 \\ 0 & 1 & -5 & -7 & -8 \\ 0 & 1 & 1 & -4 & -5 \\ \end{matrix} \right]\) \(\left[ \begin{matrix}1 & 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -4 & -5 \\ 0 & 1 & -5 & -7 & -8 \\ 0 & -4 & -7 & -11 & -7 \\ \end{matrix} \right]\)
\(\left[ \begin{matrix}1 & 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -4 & -5 \\ 0 & 0 & -6 & -3 & -3 \\ 0 & 0 & -3 & -27 & -27 \\ \end{matrix} \right]\) \(\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -4 & -5 \\ 0 & 0 & -3 & -27 & -27 \\ 0 & 0 & -6 & -3 & -3 \\ \end{matrix} \right]\) \(\left[ \begin{matrix}1 & 1 & 2 & 3 & 1 \\0 & 1 & 1 & -4 & -5 \\0 & 0 & -3 & -27 & -27 \\0 & 0 & 0 & 51 & 51 \\\end{matrix} \right]\)
A questo punto riscriviamo sotto forma di sistema e risolviamolo partendo dall’ultima equazione e ritroso fino alla prima.
\(\left\{ \begin{align} & x+y+2z+3t=1 \\& y+z-4t=-5 \\ & -3z-27t=-27 \\& 51t=51 \\ \end{align} \right.\) \(\to \) \(\left\{ \begin{align}& x=-1 \\& y=-1 \\& z=0 \\& t=1 \\ \end{align} \right.\)
Dimostrazione dell’equivalenza tra diverse definizioni di punto di accumulazione
DIMOSTRAZIONE DELL’EQUIVALENZA TRA DIVERSE DEFINIZIONI DI PUNTO DI ACCUMULAZIONE
Nell’esame di analisi matematica 1 spesso viene chiesto di dimostrare l’equivalenza tra diverse definizioni di punti di accumulazione, nel video seguente si riporta la dimostrazione.
Punti di accumulazione
Definizione 1
Dato un insieme reale \(A\subseteq \mathbb{R}\),\(accA\) è l’insieme dei punti di accumulazione di \(A\), cioè l’insieme dei punti che rispettano la definizione \(x\in accA\) \(\Leftrightarrow \) \(\forall \delta >0\,\,\left( x-\delta ,x+\delta \right)\cap A\backslash \left\{ x \right\}\ne \varnothing \) .
Definizione 2
Esiste poi una seconda definizione equivalente a quella appena data, che afferma che\(x\in accA\), se ogni suo intorno contiene infiniti elementi di \(A\). In formule si può scrivere \(x\in acc(A)\) \(\Leftrightarrow \) \(\forall \delta >0\,\,\)(anche piccolissimo)\(B=\left( x-\delta ,x+\delta \right)\cap A\backslash \left\{ x \right\}\ne \varnothing \) è un insieme infinito, cioè contiene infiniti elementi.
Dimostrazione
Dimostriamo ora l’equivalenza tra le due definizioni:
Facciamo una dimostrazione per assurdo negando il fatto che l’insieme \(B\) è infinito. Se B fosse finito, allora si avrebbe che fissato un certo \(\delta \), esso conterrebbe un numero finito di elementi e quindi potrebbe essere rappresentato come un insieme per elenco \(A=\left\{ {{x}_{1}},..,{{x}_{N}} \right\}\) costituito da \(N\) elementi. A questo punto, se scegliessi \(\delta ‘=\min \left| {{x}_{k}}-x \right|\) si avrebbe che \(\left( x-{\delta }’,x+{\delta }’ \right)\cap A\backslash \left\{ x \right\}=\varnothing \) e quindi si arriverebbe a negare anche la prima definizione.
Insiemi di numeri
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Insiemi di numeri
Prima di entrare nel vivo della materia è bene fare una presentazione degli insiemi di numeri su cui si opera e a partire dai quali si costruisce tutta l’analisi matematica. Ecco l’elenco dei principali insiemi numerici:
\(\mathbb{N}=\{0,1,2,3,…\}\) denota l’insieme dei numeri naturali.
\(\mathbb{Z}=\{..,-3,-2,-1,0,1,2,3,..\}\)è l’insieme dei numeri relativi
\(\mathbb{Q}=\{\pm \frac{m}{n},\,\,con\,\,m\in \mathbb{N},n\in \mathbb{N}\}\)è l’insieme dei numeri razionali
\(\mathbb{R}\) è l’insieme dei numeri reali. Due sottoinsiemi di esso sono: \({{\mathbb{R}}^{+}}\)insieme dei numeri reali positivi escluso lo zero e \(\mathbb{R}_{0}^{+}\) che include lo zero.
\(\mathbb{C}=\left\{ z=x+i\,y;\,\,\,\,x,y\in \mathbb{R} \right\}\,\,\)è l’insieme dei numeri complessi. Questo insieme è un estensione dei numeri reali e si costruisce a partire da essi introducendo l’unità immaginaria \(i=\sqrt{-1}\) e che vedremo nel dettaglio più avanti.
Si osserva che tra gli insiemi numerici vale la seguente relazione: \(\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}\).
I numeri naturali sono tutti i relativi con il segno positivo. I numeri relativi possono essere visti come numeri razionali ponendo \(n=1\) al denominatore oppure come frazioni dove il numeratore è multiplo del denominatore. Una riflessione va fatta per quanto riguarda la relazione tra numeri razionali e reali.
Qualsiasi numero con un numero finito di cifre dopo la virgola può essere scritto come frazione, ovvero come numero razionale. Poniamoci a questo punto una domanda: tutti i numeri possono essere scritti come numeri razionali?
Per rispondere a questa domanda basta trovare un controesempio, cioè un numero che non può essere scritto come frazione. L’esempio in questione è il numero \(\sqrt{2}\), e a questo punto andiamo a dimostrarlo per assurdo.
Come prima cosa bisogna negare la tesi, quindi per assurdo assumiamo che \(\sqrt{2}\)può essere scritto come il rapporto tra due numeri primi tra loro (se non lo fossero basterebbe semplificare).
Relazione tra insiemi numerici
I numeri naturali sono tutti i relativi con il segno positivo. I numeri relativi possono essere visti come numeri razionali ponendo \(n=1\) al denominatore oppure come frazioni dove il numeratore è multiplo del denominatore. Una riflessione va fatta per quanto riguarda la relazione tra numeri razionali e reali.
Qualsiasi numero con un numero finito di cifre dopo la virgola può essere scritto come frazione, ovvero come numero razionale. Poniamoci a questo punto una domanda: tutti i numeri possono essere scritti come numeri razionali?
Per rispondere a questa domanda basta trovare un controesempio, cioè un numero che non può essere scritto come frazione. L’esempio in questione è il numero \(\sqrt{2}\), e a questo punto andiamo a dimostrarlo per assurdo.
Come prima cosa bisogna negare la tesi, quindi per assurdo assumiamo che \(\sqrt{2}\)può essere scritto come il rapporto tra due numeri primi tra loro (se non lo fossero basterebbe semplificare).
Altri insiemi numerici
Abbiamo l’insieme dei numeri reali e positivi \({{\mathbb{R}}^{+}}\) , quello dei numeri reali e positivi incluso lo zero \(\mathbb{R}_{0}^{+}\). Inoltre esiste l’insieme dei numeri relativi e positivi incluso lo zero che coincide con l’insieme dei numeri naturali \(\mathbb{Z}_{0}^{+}=\mathbb{N}\) .
L’insieme dei numeri reali e negativi \({{\mathbb{R}}^{-}}\) . Insomma basta aggiungere un + in alto per indicare che sono solo i positivi, un – in alto per indicare che sono soltanto i negativi, uno zero in basso per indicare che è incluso anche lo zero.
Ad esempio l’insieme \({{\mathbb{Q}}^{+}}\) sono i numeri razionali e positivi e si ha \({{\mathbb{Q}}^{+}}=\left\{ x=\frac{m}{n},\,\,m,n\in \mathbb{N} \right\}\)
