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TEOREMA DI UNICITÀ DELL’ESTREMO SUPERIORE (DIMOSTRAZIONE)

Dimostrazione per assurdo del teorema di unicità dell’estremo superiore di un insieme reale. Il teorema afferma che:

Se un insieme ammette estremi reali, allora essi sono unici, e quindi un insieme non può ammettere due o più estremi superiori o inferiori.

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Dimostrazione.

Questo teorema si dimostra per assurdo. Vedremo la dimostrazione nel caso dell’estremo superiore, ma vale allo stesso modo anche per quello inferiore. Partiamo quindi con la negazione della tesi e quindi assumiamo che l’insieme ammette due valori diversi per l’estremo superiore diversi tra loro e cioè \({{L}_{1}}=\sup A\) , \({{L}_{2}}=\sup A\) e \({{L}_{2}}>{{L}_{1}}\) . A questo punto riscriviamo la definizione di estremo superiore due volte:

\({{L}_{1}}=\sup A\)\(\Leftrightarrow \) \(\forall \varepsilon >0\,\exists {{x}_{1}}\in A\,|\,\,\,\,{{x}_{1}}>{{L}_{1}}-\varepsilon \) \({{L}_{2}}=\sup A\)\(\Leftrightarrow \) \(\forall \varepsilon >0\,\exists {{x}_{2}}\in A\,|\,\,\,\,{{x}_{2}}>{{L}_{2}}-\varepsilon \)

Inoltre poiché \({{L}_{1}}\) e \({{L}_{2}}\)sono maggioranti posso anche scrivere che \({{L}_{2}}\ge {{x}_{1}}\) e  \({{L}_{1}}\ge {{x}_{2}}\)

Mettendo insieme tutte queste condizioni posso scrivere il sistema

\(\left\{ \begin{align} & {{L}_{2}}\ge {{x}_{1}}>{{L}_{1}}-\varepsilon   & {{L}_{1}}\ge {{x}_{2}}>{{L}_{2}}-\varepsilon   \end{align} \right.\) \(\Rightarrow \) \(\left\{ \begin{align} & {{L}_{2}}>{{L}_{1}}-\varepsilon   & {{L}_{1}}>{{L}_{2}}-\varepsilon   \end{align} \right.\)\(\Rightarrow \)\(\left\{ \begin{align} & {{L}_{2}}-{{L}_{1}}>-\varepsilon   & {{L}_{1}}-{{L}_{2}}>-\varepsilon   \end{align} \right.\)\(\Rightarrow \)\(\left\{ \begin{align} & {{L}_{2}}-{{L}_{1}}>-\varepsilon   & {{L}_{2}}-{{L}_{1}}<\varepsilon   \end{align} \right.\)\(\Rightarrow \)

\(-\varepsilon <{{L}_{2}}-{{L}_{1}}<\varepsilon \) Poiché questa disequazione deve essere verificata \(\forall \varepsilon >0\) , l’unica scelta che rende vera la disequazione è \({{L}_{1}}={{L}_{2}}\) , arrivando alla contraddizione che nega l’assunzione iniziale e quindi il teorema risulta dimostrato.