La disequazione di Bernoulli sarà utilizzata successivamente nella dimostrazione dell’esistenza del limite di Nepero ed è un esempio di proprietà che può essere dimostrata con il principio di induzione.
Enunciato: \(\forall x>-1,\,\forall n\in \mathbb{N}\) si ha che \({{\left( 1+x \right)}^{n}}\ge 1+nx\)
E andiamo a vedere la dimostrazione disequazione di Bernoulli per induzione:
Dimostrazione per induzione
Dimostriamo che la proprietà è vera per \({{n}_{0}}=0\). Allora si ha che \({{\left( 1+x \right)}^{0}}\ge 1+0\cdot x\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,1\ge 1\)ed è vero!
Poi passiamo a dimostrare il passo induttivo. Supponiamo vero\({{P}_{n}}:\,\,\,{{\left( 1+x \right)}^{n}}\ge 1+nx\) , vediamo se facendo operazioni matematiche regolari si arriva a \({{P}_{n+1}}\) , e se ci riusciamo allora abbiamo dimostrato che la proprietà è vera.
Moltiplichiamo per \(\left( 1+x \right)\) entrambi i membri della disequazione e si ottiene \(\left( 1+x \right){{\left( 1+x \right)}^{n}}\ge \left( 1+x \right)\left( 1+nx \right)\). Osserviamo che il verso della disequazione non cambia essendo \(1+x>0\) vista l’ipotesi che \(x>-1\).
Riscritta meglio diventa \({{\left( 1+x \right)}^{n+1}}\ge 1+x+nx+n{{x}^{2}}\).
A questo punto possiamo osservare che \(n{{x}^{2}}\ge 0\) essendo il prodotto tra numeri positivi.
Allora \(1+x+nx+n{{x}^{2}}\ge 1+x+nx\) e quindi si ottiene \({{\left( 1+x \right)}^{n+1}}\ge 1+\left( 1+n \right)x\) raccogliendo una \(x\), e quest’ultima espressione corrisponde proprio a \({{P}_{n+1}}\) e quindi abbiamo dimostrato il passo induttivo.
DIMOSTRAZIONE DELL’EQUIVALENZA TRA DIVERSE DEFINIZIONI DI PUNTO DI ACCUMULAZIONE
Nell’esame di analisi matematica 1 spesso viene chiesto di dimostrare l’equivalenza tra diverse definizioni di punti di accumulazione, nel video seguente si riporta la dimostrazione.
Dato un insieme reale \(A\subseteq \mathbb{R}\),\(accA\) è l’insieme dei punti di accumulazione di \(A\), cioè l’insieme dei punti che rispettano la definizione \(x\in accA\) \(\Leftrightarrow \) \(\forall \delta >0\,\,\left( x-\delta ,x+\delta \right)\cap A\backslash \left\{ x \right\}\ne \varnothing \) .
Definizione 2
Esiste poi una seconda definizione equivalente a quella appena data, che afferma che\(x\in accA\), se ogni suo intorno contiene infiniti elementi di \(A\). In formule si può scrivere \(x\in acc(A)\) \(\Leftrightarrow \) \(\forall \delta >0\,\,\)(anche piccolissimo)\(B=\left( x-\delta ,x+\delta \right)\cap A\backslash \left\{ x \right\}\ne \varnothing \) è un insieme infinito, cioè contiene infiniti elementi.
Dimostrazione
Dimostriamo ora l’equivalenza tra le due definizioni: Facciamo una dimostrazione per assurdo negando il fatto che l’insieme \(B\) è infinito. Se B fosse finito, allora si avrebbe che fissato un certo \(\delta \), esso conterrebbe un numero finito di elementi e quindi potrebbe essere rappresentato come un insieme per elenco \(A=\left\{ {{x}_{1}},..,{{x}_{N}} \right\}\) costituito da \(N\) elementi. A questo punto, se scegliessi \(\delta ‘=\min \left| {{x}_{k}}-x \right|\) si avrebbe che \(\left( x-{\delta }’,x+{\delta }’ \right)\cap A\backslash \left\{ x \right\}=\varnothing \) e quindi si arriverebbe a negare anche la prima definizione.
Questo teorema si dimostra per assurdo. Vedremo la dimostrazione nel caso dell’estremo superiore, ma vale allo stesso modo anche per quello inferiore. Partiamo quindi con la negazione della tesi e quindi assumiamo che l’insieme ammette due valori diversi per l’estremo superiore diversi tra loro e cioè \({{L}_{1}}=\sup A\) , \({{L}_{2}}=\sup A\) e \({{L}_{2}}>{{L}_{1}}\) . A questo punto riscriviamo la definizione di estremo superiore due volte:
\(-\varepsilon <{{L}_{2}}-{{L}_{1}}<\varepsilon \) Poiché questa disequazione deve essere verificata \(\forall \varepsilon >0\) , l’unica scelta che rende vera la disequazione è \({{L}_{1}}={{L}_{2}}\) , arrivando alla contraddizione che nega l’assunzione iniziale e quindi il teorema risulta dimostrato.
In questo video svolgo due esercizi relativi agli insiemi reali. In particolare dati due esempi di insiemi, mostro come trovare i relativi insiemi dei punti di accumulazione, punti isolati, punti di frontiera, estremi superiori ed inferiori, limitatezza inferiore e superiore, massimo e minimo (se esistono) e dire se gli insiemi sono aperti o chiusi.
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i punti di accumulazione sono tutti quei punti in cui l’insieme diventa denso, cioè se costruisco un intorno del punto, comunque piccolo lo prendo, vedo sempre un insieme di infiniti punti.
un insieme non sempre ammette massimo e minimo, ma quando essi esistono coincidono con gli estremi superiore ed inferiore rispettivamente.
il massimo di un insieme esiste quando tra tutti gli elementi dell’insieme è possibile individuare un elemento più grande di tutti.
i punti isolati non sono punti di accumulazione, perchè esiste un intervallo finito che li separa dagli altri elementi dell’insieme.
i punti interni si trovano soltanto all’inerno degli intervalli.
dato un insieme reale:
si dice aperto, quando l’insieme è fatto di soli punti interni, quindi un insieme è aperto solo se è composto da soli intervalli aperti.
si dice chiuso, quando contiene tutti i punti di accumulazione.
non può essere sia aperto che chiuso.
può essere nè aperto, nè chiuso (è molto probabile che succede).
la chiusura (aderenza) di un insieme si ottiene aggiungendo all’insieme ciò che manca per essere chiuso, ovvero i punti di accumulazione esterni all’insieme.
Prima di entrare nel vivo della materia è bene fare una presentazione degli insiemi di numeri su cui si opera e a partire dai quali si costruisce tutta l’analisi matematica. Ecco l’elenco dei principali insiemi numerici:
\(\mathbb{N}=\{0,1,2,3,…\}\) denota l’insieme dei numeri naturali. \(\mathbb{Z}=\{..,-3,-2,-1,0,1,2,3,..\}\)è l’insieme dei numeri relativi \(\mathbb{Q}=\{\pm \frac{m}{n},\,\,con\,\,m\in \mathbb{N},n\in \mathbb{N}\}\)è l’insieme dei numeri razionali \(\mathbb{R}\) è l’insieme dei numeri reali. Due sottoinsiemi di esso sono: \({{\mathbb{R}}^{+}}\)insieme dei numeri reali positivi escluso lo zero e \(\mathbb{R}_{0}^{+}\) che include lo zero.
\(\mathbb{C}=\left\{ z=x+i\,y;\,\,\,\,x,y\in \mathbb{R} \right\}\,\,\)è l’insieme dei numeri complessi. Questo insieme è un estensione dei numeri reali e si costruisce a partire da essi introducendo l’unità immaginaria \(i=\sqrt{-1}\) e che vedremo nel dettaglio più avanti.
Si osserva che tra gli insiemi numerici vale la seguente relazione: \(\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}\).
I numeri naturali sono tutti i relativi con il segno positivo. I numeri relativi possono essere visti come numeri razionali ponendo \(n=1\) al denominatore oppure come frazioni dove il numeratore è multiplo del denominatore. Una riflessione va fatta per quanto riguarda la relazione tra numeri razionali e reali. Qualsiasi numero con un numero finito di cifre dopo la virgola può essere scritto come frazione, ovvero come numero razionale. Poniamoci a questo punto una domanda: tutti i numeri possono essere scritti come numeri razionali? Per rispondere a questa domanda basta trovare un controesempio, cioè un numero che non può essere scritto come frazione. L’esempio in questione è il numero \(\sqrt{2}\), e a questo punto andiamo a dimostrarlo per assurdo. Come prima cosa bisogna negare la tesi, quindi per assurdo assumiamo che \(\sqrt{2}\)può essere scritto come il rapporto tra due numeri primi tra loro (se non lo fossero basterebbe semplificare).
Relazione tra insiemi numerici
I numeri naturali sono tutti i relativi con il segno positivo. I numeri relativi possono essere visti come numeri razionali ponendo \(n=1\) al denominatore oppure come frazioni dove il numeratore è multiplo del denominatore. Una riflessione va fatta per quanto riguarda la relazione tra numeri razionali e reali. Qualsiasi numero con un numero finito di cifre dopo la virgola può essere scritto come frazione, ovvero come numero razionale. Poniamoci a questo punto una domanda: tutti i numeri possono essere scritti come numeri razionali? Per rispondere a questa domanda basta trovare un controesempio, cioè un numero che non può essere scritto come frazione. L’esempio in questione è il numero \(\sqrt{2}\), e a questo punto andiamo a dimostrarlo per assurdo. Come prima cosa bisogna negare la tesi, quindi per assurdo assumiamo che \(\sqrt{2}\)può essere scritto come il rapporto tra due numeri primi tra loro (se non lo fossero basterebbe semplificare).
Altri insiemi numerici
Abbiamo l’insieme dei numeri reali e positivi \({{\mathbb{R}}^{+}}\) , quello dei numeri reali e positivi incluso lo zero \(\mathbb{R}_{0}^{+}\). Inoltre esiste l’insieme dei numeri relativi e positivi incluso lo zero che coincide con l’insieme dei numeri naturali \(\mathbb{Z}_{0}^{+}=\mathbb{N}\) .
L’insieme dei numeri reali e negativi \({{\mathbb{R}}^{-}}\) . Insomma basta aggiungere un + in alto per indicare che sono solo i positivi, un – in alto per indicare che sono soltanto i negativi, uno zero in basso per indicare che è incluso anche lo zero.
Ad esempio l’insieme \({{\mathbb{Q}}^{+}}\) sono i numeri razionali e positivi e si ha \({{\mathbb{Q}}^{+}}=\left\{ x=\frac{m}{n},\,\,m,n\in \mathbb{N} \right\}\)
