Dimostrazione Disequazione di Bernoulli
La disequazione di Bernoulli sarà utilizzata successivamente nella dimostrazione dell’esistenza del limite di Nepero ed è un esempio di proprietà che può essere dimostrata con il principio di induzione.
Enunciato: \(\forall x>-1,\,\forall n\in \mathbb{N}\) si ha che \({{\left( 1+x \right)}^{n}}\ge 1+nx\)
E andiamo a vedere la dimostrazione disequazione di Bernoulli per induzione:
Dimostrazione per induzione
Dimostriamo che la proprietà è vera per \({{n}_{0}}=0\). Allora si ha che \({{\left( 1+x \right)}^{0}}\ge 1+0\cdot x\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,1\ge 1\)ed è vero!
Poi passiamo a dimostrare il passo induttivo. Supponiamo vero\({{P}_{n}}:\,\,\,{{\left( 1+x \right)}^{n}}\ge 1+nx\) , vediamo se facendo operazioni matematiche regolari si arriva a \({{P}_{n+1}}\) , e se ci riusciamo allora abbiamo dimostrato che la proprietà è vera.
Moltiplichiamo per \(\left( 1+x \right)\) entrambi i membri della disequazione e si ottiene \(\left( 1+x \right){{\left( 1+x \right)}^{n}}\ge \left( 1+x \right)\left( 1+nx \right)\). Osserviamo che il verso della disequazione non cambia essendo \(1+x>0\) vista l’ipotesi che \(x>-1\).
Riscritta meglio diventa \({{\left( 1+x \right)}^{n+1}}\ge 1+x+nx+n{{x}^{2}}\).
A questo punto possiamo osservare che \(n{{x}^{2}}\ge 0\) essendo il prodotto tra numeri positivi.
Allora \(1+x+nx+n{{x}^{2}}\ge 1+x+nx\) e quindi si ottiene \({{\left( 1+x \right)}^{n+1}}\ge 1+\left( 1+n \right)x\) raccogliendo una \(x\), e quest’ultima espressione corrisponde proprio a \({{P}_{n+1}}\) e quindi abbiamo dimostrato il passo induttivo.
