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Algoritmo di gauss – Soluzione di sistemi lineari

algoritmo di gauss – soluzione di sistemi lineari

In questa videolezione vediamo come applicare l’algoritmo di Gauss per risolvere sistemi lineari

esercizio

Risolvere il seguente sistema lineare:

\( \left\{\begin{align}& x+y+2z+3t=1\\& 3x-y-z-2t=-4\\& 2x+3y-z-t=-6\\& x+2y+3z-t=-4\\\end{align}\right. \)

Svolgimento

Svolgimento

In questi passaggi l’algoritmo di Gauss per ottenere una matrice triangolare superiore combinando e scambiando opportunamente le righe della matrice. Guarda il video per i dettagli dello svolgimento. Ricordo che la rappresentazione matriciale del sistema ha il semplice scopo di velocizzare le scritture. I passaggi che portano alla risoluzione del sistema prendono il nome di mosse di Gauss.

\(\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 2 & 3 & 1 \\ 3 & -1 & -1 & -2 & -4 \\ 2 & 3 & -1 & -1 & -6 \\ 1 & 2 & 3 & -1 & -4 \\ \end{matrix}   \right]\)   \(\left[\begin{matrix} 1 & 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & -4 & -7 & -11 & -7 \\ 0 & 1 & -5 & -7 & -8 \\ 0 & 1 & 1 & -4 & -5 \\ \end{matrix} \right]\)    \(\left[ \begin{matrix}1 & 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -4 & -5 \\ 0 & 1 & -5 & -7 & -8 \\ 0 & -4 & -7 & -11 & -7 \\ \end{matrix} \right]\)

\(\left[ \begin{matrix}1 & 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -4 & -5 \\ 0 & 0 & -6 & -3 & -3 \\ 0 & 0 & -3 & -27 & -27 \\ \end{matrix} \right]\)  \(\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -4 & -5 \\ 0 & 0 & -3 & -27 & -27 \\ 0 & 0 & -6 & -3 & -3 \\ \end{matrix} \right]\)   \(\left[ \begin{matrix}1 & 1 & 2 & 3 & 1 \\0 & 1 & 1 & -4 & -5 \\0 & 0 & -3 & -27 & -27 \\0 & 0 & 0 & 51 & 51 \\\end{matrix} \right]\)

A questo punto riscriviamo sotto forma di sistema e risolviamolo partendo dall’ultima equazione e ritroso fino alla prima.

\(\left\{ \begin{align} & x+y+2z+3t=1 \\& y+z-4t=-5 \\ & -3z-27t=-27 \\& 51t=51 \\ \end{align} \right.\)    \(\to \)  \(\left\{ \begin{align}& x=-1 \\& y=-1 \\& z=0 \\& t=1 \\ \end{align} \right.\)