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In questa lezione parliamo delle varie proprietà topologiche di un insieme reale. Partiamo dalla nozione di intorno. Successivamente parliamo di maggioranti e minoranti di un insieme, per poi definire il concetto di estremi superiore ed inferiore. Poi passiamo a parlare di massimo e minimo di un insieme reale. Una volta terminata questa prima parte andiamo a definire l’insieme dei punti di accumulazione, l’insieme dei punti di frontiera, punti interni, punti isolati. Vediamo come verificare se un insieme è aperto o chiuso e terminiamo con i punti di aderenza o chiusura di un insieme.
Punti di accumulazione
Definizione 1
Dato un insieme reale \(A\subseteq \mathbb{R}\),\(accA\) è l’insieme dei punti di accumulazione di \(A\), cioè l’insieme dei punti che rispettano la definizione \(x\in accA\) \(\Leftrightarrow \) \(\forall \delta >0\,\,\left( x-\delta ,x+\delta \right)\cap A\backslash \left\{ x \right\}\ne \varnothing \) .
Definizione 2
Esiste poi una seconda definizione equivalente a quella appena data, che afferma che\(x\in accA\), se ogni suo intorno contiene infiniti elementi di \(A\). In formule si può scrivere \(x\in acc(A)\) \(\Leftrightarrow \) \(\forall \delta >0\,\,\)(anche piccolissimo)\(B=\left( x-\delta ,x+\delta \right)\cap A\backslash \left\{ x \right\}\ne \varnothing \) è un insieme infinito, cioè contiene infiniti elementi.
in generale quali sono i punti di accumulazione?
– Dato un intervallo contenuto nell’insieme A, tutti i punti che appartengono all’intervallo, inclusi gli estremi (sia che gli estremi siano compresi, sia che essi siano esclusi dall’insieme A) sono punti di accumulazione.
Ad esempio dato l’intervallo \(A=[1,3)\)si ha che l’insieme dei suoi punti di accumulazione è\(acc(A)=[1,3]\) , cioè anche gli estremi sono punti di accumulazione oltre a tutti i punti interni all’intervallo.
– Data una successione di punti, se essa tende ad avvicinarsi indefinitamente ad un punto, allora quel punto è di accumulazione per la successione.
In termini matematici possiamo scrivere
\(\forall \varepsilon >0\,\,\exists x\in {{\left\{ {{a}_{n}} \right\}}_{n\in \mathbb{N}}}\,:\,\left| x-{{x}_{0}} \right|<\varepsilon \)
esempi sui punti di accumulazione
Ad esempio la successione \({{a}_{n}}=\frac{1}{n}\)
Ha come punto di accumulazione \({{x}_{0}}=0\) infatti comunque piccolo scelgo e troverò sempre un punto della successione che si discosta da \({{x}_{0}}=0\) di una quantità inferiore a d. Ad esempio se scelgo d=1/1000 sarà sufficiente scegliere n=1001 perché la definizione sia rispettata. Infatti
E questo discorso lo posso ripetere comunque piccolo scelgo e. D’altronde 1/n è una successione monotona decrescente che si avvicina indefinitamente a zero.
Prendiamo ora la successione \({{a}_{n}}={{\left( -1 \right)}^{n}}+\frac{1}{n},\,\,\,n\in \mathbb{N}\)
Può essere scomposta in due sottosuccessioni monotone come segue
\({{a}_{n}}=\left\{ \begin{align}
& \frac{1}{n}-1\,\,\,\,se\,n\,pari \\
& \frac{1}{n}+1\,\,\,\,se\,n\,dispari \\
\end{align} \right.\)
Questa successione ammette due punti di accumulazione (1 e -1) perché al crescere di n si avvicina indefinitamente sia a 1 che a -1.
Punti isolati
Sia dato un insieme reale \(A\subseteq \mathbb{R}\) , si ha che \({{x}_{0}}\in A\) è un punto isolato di A se \(\exists \delta >0\,\,\,:\,\,\left( {{x}_{0}}-\delta ,{{x}_{0}}+\delta \right)\cap A=\left\{ {{x}_{0}} \right\}\)
Ovvero se è possibile definire un intorno del punto in cui non ci sono altri elementi dell’insieme A oltre al punto stesso.
Un punto isolato è tale se è possibile definire un estremo inferiore non nullo per la distanza che intercorre tra esso e gli altri elementi dell’insieme. Ad esempio se prendiamo l’insieme
\(B=\left\{ x\in \mathbb{R}:\,\,x=\frac{1}{n},\,\,\,n\in \mathbb{N} \right\}\) , \(A=B\cup \left\{ 0 \right\}\)
quando non sono punti isolati?
Tutti gli elementi di A sono punti isolati ad eccezione dello zero. Eppure l’insieme B è un insieme di punti che si avvicinano sempre più allo zero senza mai raggiungerlo. Il che suggerisce che c’è uno spazio vuoto che separa l’insieme B dallo zero. Lo zero è staccato dall’insieme B, non c’è continuità, ma allo stesso tempo non è possibile misurare la lunghezza di questo spazio vuoto perché è indefinitamente piccolo (ovvero è infinitesimo).
In altri termini si può scrivere che non \({\exists }\delta >0:\left( -\delta ,\delta \right)\cap A=\left\{ 0 \right\}\)
Cioè comunque piccolo lo scelgo d ci saranno sempre altri elementi di A oltre allo zero nell’intervallo (d,d). Questo esempio mostra che non è detto che un punto staccato dal resto dell’insieme è necessariamente isolato.
Ogni insieme reale è composto in generale da punti (non necessariamente isolati) e intervalli. Se un punto isolato si unisce a un intervallo smette di essere isolato e entra a far parte dell’intervallo. Ad esempio \(A=\left( 1,2 \right)\cup \left\{ 2 \right\}=(1,2]\) .
Punti interni
Un punto è interno ad un insieme non se fa parte dell’insieme (come suggerirebbe il significato letterario del termine) ma se è possibile definire almeno un intorno del punto interamente contenuto nell’insieme.
\({{x}_{0}}\in \overset{0}{\mathop{\mathbf{A}}}\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\exists \delta >0:\left( {{x}_{0}}-\delta ,{{x}_{0}}+\delta \right)\subset A\)
I punti interni possono essere descritti in poche parole come l’interno degli intervalli, estremi esclusi. Essi si trovano infatti necessariamente all’interno di intervalli. I punti isolati non possono essere punti interni perché non esiste nessun intervallo contenuto in un punto (semmai varrebbe il contrario visto che comunque piccolo lo si prende un intervallo esso conterrà comunque infiniti punti).
Ad esempio dato l’insieme \(A=[1,2)\cup \left\{ 3 \right\}\) ha come punti interni \(\overset{0}{\mathop{\mathbf{A}}}\,=\left( 1,2 \right)\)
Punti di frontiera
Un punto si dice di frontiera se comunque piccolo si prende un intorno del punto conterrà sia punti che appartengono all’insieme A che punti che non appartengono ad A.
\({{x}_{0}}\in \partial A\,\,\Leftrightarrow \forall \delta >0\,\left( {{x}_{0}}-\delta ,{{x}_{0}}+\delta \right)\cap A\ne \varnothing ,\left( {{x}_{0}}-\delta ,{{x}_{0}}+\delta \right)\cap {{A}^{c}}\ne \varnothing \)
Un punto appartiene alla frontiera di A se comunque scelto un intorno del punto intersecato con l’insieme A e con il complementare dell’insieme A si ottiene comunque un insieme non vuoto.
quali sono i punti di frontiera?
In generale sono punti di frontiera:
– Gli estremi degli intervalli (sia che essi siano inclusi, sia che essi siano esclusi dall’insieme)
– I punti isolati
– I punti dove tendono ad accumularsi infiniti punti di una successione
Ad esempio:
\(A=\left\{ x\in \mathbb{R}:\,\,x=\frac{1}{n},\,\,\,n\in \mathbb{N} \right\}\)
Ammette \({{x}_{0}}=0\) come punto di frontiera oltre all’insieme stesso (che è composto interamente da punti isolati), e quindi la frontiera di A è \(\partial A=A\cup \left\{ 0 \right\}\).
Insiemi chiusi
Un insieme reale \(A\subseteq \mathbb{R}\) si dice chiuso se tutti i punti di accumulazione sono contenuti nell’insieme, ovvero
\(accA\subseteq A\)
Ad esempio \(A=(1,2]\) non è chiuso perché \(acc(A)=\left[ 1,2 \right]\not\subset A\) , l’insieme \(B=\left[ 1,2 \right]\) è chiuso perché \(acc(B)=\left[ 1,2 \right]\subseteq B\) e anche l’insieme \(C=\left[ 1,2 \right]\cup \left\{ 3,4 \right\}\) è chiuso infatti \(acc(C)=\left[ 1,2 \right]\subseteq C\)
Non devono esistere punti di accumulazione che non appartengano all’insieme.
Insiemi aperti
Un insieme \(A\subseteq \mathbb{R}\) non vuoto si dice aperto se l’insieme è composto da soli punti interni.
Se un insieme contiene intervalli di cui almeno un estremo è escluso oppure contiene punti isolati, non può o essere aperto.
Ad esempio l’insieme\(A=\left( 1,2 \right)\cup \left( 3,+\infty \right)\)è un insieme aperto, mentre l’insieme \(B=(1,2]\cup \left( 3,+\infty \right)\)non è aperto e non lo è nemmeno \(C=\left( 1,2 \right)\cup \left( 3,+\infty \right)\cup \left\{ 0 \right\}\).
Punti di chiusura o aderenza
Dato un insieme \(A\subseteq \mathbb{R}\) non vuoto si dice che \({{x}_{0}}\) appartiene all’insieme dei punti di chiusura o aderenza di \(A\) se comunque preso un intorno che circonda il punto \({{x}_{0}}\) contiene punti di A
\({{x}_{0}}\in \bar{A}\Leftrightarrow \forall \delta >0\,\,\left( {{x}_{0}}-\delta ,{{x}_{0}}+\delta \right)\cap A\ne \varnothing \)
La chiusura di un insieme si ottiene aggiungendo ad un insieme ciò che manca per essere chiuso, cioè quei punti di accumulazione che non fanno parte dell’insieme \(\bar{A}=A\cup acc\left( A \right)\).