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Soluzione di un sistema lineare al variare di k

Problema

Dire per quali valori di k il seguente sistema lineare ammette soluzione e per quei valori determinare la soluzione.

\(\left\{ \begin{align} & x-y=1 \\ & ky+z=0 \\ & 2x-kz=-1 \\ & x+y+z=-1 \\ \end{align} \right.\)


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Per prima cosa andiamo a riscrivere il sistema in forma matriciale:

\(\left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & k & 1 & 0 \\ 2 & 0 & -k & -1 \\ 1 & 1 & 1 & -1 \\ \end{matrix} \right]\)

Per il teorema di Rouchè-Capelli il sistema ammette soluzione solo se il rango della matrice completa è uguale a quello della matrice incompleta. Prima di applicarlo però posso applicare il primo passo dell’algoritmo di Gauss, infatti esso non modifica il rango delle matrici in questione, ma semplicemente permette di velocizzare i calcoli sulle matrici.

\(C=\left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & k & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -k & -3 \\ 0 & 2 & 1 & -2 \\ \end{matrix} \right]\)

A questo punto diciamo che C è la matrice completa (4×4) e il suo rango è \(rk(C)\le 4\)

\(A=\left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & k & 1 \\ 0 & 2 & -k \\ 0 & 2 & 1 \\ \end{matrix} \right]\)

La matrice A è invece la matrice incompleta (4×3) e il suo rango è \(rk(A)\le 3\).

Infatti ricordiamo che il rango massimo di una matrice è pari al minimo tra righe e colonne.

La matrice C è una matrice quadrata e quindi l’unico minore di ordine 4 è dato dalla matrice stessa. Pertanto si ha che \(rk(C)=4\) se e solo se \(\det (C)\ne 0\).

Poiché \(rk(A)\le 3\), se \(rk(C)=4\), allora \(rk(A)\ne rk(C)\)e per il teorema di Rouchè-Capelli, sotto queste ipotesi il sistema non ammette soluzione.

\(\det C=\det \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & k & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -k & -3 \\ 0 & 2 & 1 & -2 \ \end{matrix} \right]\)

Applicando il teorema di Laplace sulla prima colonna si ha che

\(\det C=\det \left[ \begin{matrix} k & 1 & 0 \\ 2 & -k & -3 \\ 2 & 1 & -2 \\ \end{matrix} \right]\)

A questo punto dalla regola di Sarrus ottengo che il determinante di C è un polinomio di secondo grado

\(\det C=2{{k}^{2}}+3k-2=0\)

Esso si annulla se \(k=\frac{1}{2}\) e \(k=-2\)

Quindi possiamo già dire che il sistema sicuramente non ammette soluzione se \(k\ne \frac{1}{2}\) e \(k\ne -2\) . Per gli altri casi invece non possiamo dire nulla e li studiamo a parte.

Iniziamo da \(k=\frac{1}{2}\) e sostituiamolo nella matrice.

\(\det C=\det \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -\frac{1}{2} & -3 \\ 0 & 2 & 1 & -2 \\ \end{matrix} \right]\)

Sappiamo che in questo caso\(rk(C)<4\) e andiamo a verificare se il rango della matrice completa e incompleta risultano in questo caso entrambi pari a 3. Per fare ciò prendiamo un minore di ordine 3 comune sia alla matrice incompleta che a quella completa e calcoliamone il determinante.

\(\det \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & 2 & -\frac{1}{2} \\ \end{matrix} \right]\) \(=\det \left[ \begin{matrix} \frac{1}{2} & 1 \\ 2 & -\frac{1}{2} \\ \end{matrix} \right]=-\frac{9}{4}\ne 0\)

Abbiamo trovato un minore di ordine 3 comune alla matrice A ed alla matrice C con determinante non nullo. Possiamo pertanto concludere che per il teorema di Rouchè-Capelli, il sistema ammette soluzione ed andiamo a trovarla proseguendo con l’algoritmo di Gauss.

\(\left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -\frac{1}{2} & -3 \\ 0 & 2 & 1 & -2 \\ \end{matrix} \right]\) \(\to \) \(\left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 4 & -1 & -6 \\ 0 & 2 & 1 & -2 \\ \end{matrix} \right]\) \(\to \) \(\left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -9 & -6 \\ 0 & 0 & -3 & -2 \\ \end{matrix} \right]\)

La terza e la quarta riga sono linearmente dipendenti, quindi una delle due posso eliminarla (ad esempio la terza) e riscrivo il sistema ottenuto

\(\left\{ \begin{align} & x-y=1 \\ & y+2z=0 \\ & -3z=-2 \\ \end{align} \right.\)

Da cui si ottiene la soluzione:

\(\left\{ \begin{align} & x=-\frac{1}{3} \\ & y=-\frac{4}{3} \\ & z=\frac{2}{3} \\ \end{align} \right.\)

Passiamo ora al caso \(k=-2\) e sostituiamolo nella matrice.

\(\det C=\det \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & -3 \\ 0 & 2 & 1 & -2 \\ \end{matrix} \right]\)

Sappiamo che in questo caso\(rk(C)<4\) e andiamo a verificare se il rango della matrice completa e incompleta risultano in questo caso entrambi pari a 3. Per fare ciò prendiamo un minore di ordine 3 comune sia alla matrice incompleta che a quella completa e calcoliamone il determinante.

\(\det \left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ \end{matrix} \right]\) \(=\det \left[ \begin{matrix} -2 & 1 \\ 2 & 2 \\ \end{matrix} \right]=-4-2\ne 0\)

Abbiamo trovato un minore di ordine 3 comune alla matrice A ed alla matrice C con determinante non nullo. Possiamo pertanto concludere che per il teorema di Rouchè-Capelli, il sistema ammette soluzione ed andiamo a trovarla proseguendo con l’algoritmo di Gauss.

\(\left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & -3 \\ 0 & 2 & 1 & -2 \\ \end{matrix} \right]\)    \(\to \)    \(\left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & -3 \\ 0 & 0 & 2 & -2 \\ \end{matrix} \right]\)

La terza e la quarta riga sono linearmente dipendenti, quindi una delle due posso eliminarla (ad esempio la terza) e riscrivo il sistema ottenuto

\(\left\{ \begin{align} & x-y=1 \\ & -2y+z=0 \\ & 2z=-2 \\ \end{align} \right.\)

Da cui si ottiene la soluzione:

\(\left\{ \begin{align} & x=\frac{3}{2} \\ & y=\frac{1}{2} \\ & z=-1 \\ \end{align} \right.\)

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